1.3: Arcos, ángulos y calculadoras

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Preguntas de enfoque

Después de estudiar esta sección, debemos entender los conceptos motivados por estas preguntas y poder escribir respuestas precisas y coherentes a estas preguntas.

¿Cómo medimos los ángulos usando grados?
¿Qué entendemos por la medida radianes de un ángulo? ¿Cómo se relaciona la medida radianes de un ángulo con la longitud de un arco en el círculo unitario?
¿Por qué es importante la medida radianes?
¿Cómo convertimos de radianes a grados y de grados a radianes?
¿Cómo utilizamos una calculadora para aproximar valores de las funciones coseno y seno?

La antigua civilización conocida como Babilonia era una región cultural con sede en el sur de Mesopotamia, que es el actual Irak. Babilonia surgió como un estado independiente alrededor de 1894 a. C. Los babilonios desarrollaron un sistema de matemáticas que se basaba en un sistema numérico sexigesimal (base 60). Este fue el origen del uso moderno de 60 minutos en una hora, 60 segundos en un minuto y 360 grados en círculo.

Muchos historiadores creen ahora que para los antiguos babilonios, el año consistió en 360 días, lo que no es una mala aproximación dada la crudeza de las antiguas herramientas astronómicas. En consecuencia, dividieron el círculo en 360 arcos de igual longitud, lo que les dio un ángulo unitario que era 1/360 de círculo o lo que ahora conocemos como grado. A pesar de que hay 365.24 días en un año, el ángulo unitario babilónico se sigue utilizando como base para medir ángulos en un círculo. La figura$\PageIndex{1}$ muestra un círculo dividido en 6 ángulos de 60 grados cada uno, lo que también es algo que encaja muy bien con el sistema numérico babilónico base-60.

$1.8.png$

Figura$\PageIndex{1}$: Un círculo con seis ángulos de 60 grados.

A menudo denotamos una línea que se dibuja a través de 2 puntos A y B por$\overleftrightarrow{AB}$. La porción de la línea$\overleftrightarrow{AB}$ que inicia en el punto A y continúa indefinidamente en la dirección punto del punto B se denomina rayo AB y se denota por$\overrightarrow{AB}$. El punto A es el punto inicial del rayo$\overrightarrow{AB}$. Un ángulo se forma girando un rayo alrededor de su punto final. El rayo en su posición inicial se llama el lado inicial del ángulo, y la posición del rayo después de haber sido girado se llama el lado terminal del rayo. El punto final del rayo se llama el vértice del ángulo.

$1.9.png$

Figura$\PageIndex{2}$: Un ángulo que incluye alguna notación.

La figura$\PageIndex{2}$ muestra el rayo$\overrightarrow{AB}$ girado alrededor del punto A para formar un ángulo. El lado terminal del ángulo es el rayo$\overrightarrow{AC}$. A menudo nos referimos a esto como ángulo BAC, que se abrevia como$\angle{BAC}$. También podemos referirnos a este ángulo como ángulo$CAB$ o$\angle{CAB}$. Si queremos usar una sola letra para este ángulo, a menudo usamos una letra griega como$\alpha$ (alfa). Entonces solo decimos el ángulo. Otras letras griegas que a menudo se usan son$\beta$ (beta),$\gamma$ (gamma),$\theta$ (theta),$\phi$ (phi) y$\rho$ (rho).

Arcos y ángulos

Para definir las funciones trigonométricas en términos de ángulos, haremos una conexión simple entre ángulos y arcos utilizando la llamada posición estándar de un ángulo. Cuando el vértice de un ángulo está en el origen en el$xy$ plano -y el lado inicial se encuentra a lo largo del eje x positivo, vemos que el ángulo está en posición estándar. El lado terminal del ángulo se encuentra entonces en uno de los cuatro cuadrantes o se encuentra a lo largo de uno de los ejes. Cuando el lado terminal está en uno de los cuatro cuadrantes, el lado terminal determina la denominada designación de cuadrante del ángulo. Ver Figura$\PageIndex{3}$.

$1.10.png$

Figura$\PageIndex{3}$: Posición estándar de un ángulo en el segundo cuadrante.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dibuja un ángulo en posición estándar en

el primer cuadrante;
el tercer cuadrante; y
el cuarto cuadrante.

Contestar

Estas gráficas muestran ángulos positivos en posición estándar. El de la izquierda tiene su punto terminal en el primer cuadrante, el del medio tiene su punto terminal en el tercer cuadrante, y el de la derecha tiene su punto terminal en el cuarto cuadrante.

$1.13.png$

Si un ángulo está en posición estándar, entonces el punto donde el lado terminal del ángulo intersecta el círculo unitario marca el punto terminal de un arco como se muestra en la Figura 1.11. De igual manera, el punto terminal de un arco en el círculo unitario determina un rayo a través del origen y ese punto, que a su vez define un ángulo en posición estándar. En este caso decimos que el ángulo está subtendido por el arco. Por lo que existe una correspondencia natural entre los arcos en el círculo unitario y los ángulos en posición estándar. Debido a esta correspondencia, también podemos definir las funciones trigonométricas laterales terminales en términos de ángulos y arcos. Antes de hacer esto, sin embargo, necesitamos discutir dos formas diferentes de medir ángulos.

$1.11.png$

Figura$\PageIndex{4}$: Un arco y su ángulo correspondiente.

Grados Versus Radianes

Hay dos formas en las que mediremos los ángulos —en grados y radianes. Cuando medimos la longitud de un arco, la medida tiene una dimensión (la longitud, ya sea pulgadas, centímetros o algo más). Como se mencionó en la introducción, los babilonios dividieron el círculo en 360 regiones. Entonces, una envoltura completa alrededor de un círculo es de 360 grados, denotada$360^\circ$. La unidad de medida de$1^\circ$ es un ángulo que es 1/360 del ángulo central de un círculo. La figura$\PageIndex{1}$ muestra 6 ángulos de$60^\circ$ cada uno. El grado$^\circ$ es una dimensión, igual que una longitud. Entonces, para comparar un ángulo medido en grados con un arco medido con algún tipo de longitud, necesitamos conectar las dimensiones. Eso lo podemos hacer con la medida radianes de un ángulo.

Los radianes serán útiles porque un radián es una medida adimensional. Queremos conectar las mediciones de ángulo a las mediciones de arco, y para ello definiremos directamente un ángulo de 1 radián para que sea un ángulo subtendido por un arco de longitud 1 (la longitud del radio) en el círculo unitario como se muestra en la Figura$\PageIndex{5}$.

$1.12.png$

Figura$\PageIndex{5}$: Un radián.

Definición: Radian

Un ángulo de un radián es el ángulo en posición estándar en el círculo unitario que está subtendido por un arco de longitud 1 (en la dirección positiva).

Esto conecta directamente los ángulos medidos en radianes con los arcos en que asociamos un número real tanto con el arco como con el ángulo. Entonces un ángulo de 2 radianes corta un arco de longitud 2 en el círculo unitario, un ángulo de 3 radianes corta de un arco de longitud 3 en el círculo unitario, y así sucesivamente. La Figura 1.13 muestra los lados terminales de los ángulos con medidas de 0 radianes, 1 radianes, 2 radianes, 3 radianes, 4 radianes, 5 radianes y 6 radianes. Observe eso$2\pi \approx 6.2832$ y así$6 < 2\pi$ como se muestra en la Figura$\PageIndex{6}$.

$1.13.png$

Figura$\PageIndex{6}$: Ángulos con Radián Medida 1, 2, 3, 4, 5 y 6

También podemos tener ángulos cuya medida radianes es negativa al igual que tenemos arcos con una longitud negativa. La idea es simplemente medir en sentido negativo (en sentido horario) alrededor del círculo unitario. Entonces un ángulo cuya medida es$-1$ radián es el ángulo en posición estándar en el círculo unitario que está subtendido por un arco de longitud 1 en la dirección negativa (en sentido horario).

Entonces, en general, un ángulo (en posición estándar) de t radianes corresponderá a un arco de longitud t en el círculo unitario. Esto nos permite discutir el seno y el coseno de un ángulo medido en radianes. Es decir, cuando pensamos en el pecado$(t)$ y en cos$(t)$, podemos considerar$t$ que es:

un número real;
la longitud de un arco con punto inicial$(1, 0)$ en el círculo unitario;
la medida radianes de un ángulo en posición estándar.

Cuando dibujamos una imagen de un ángulo en posición estándar, a menudo dibujamos un pequeño arco cerca del vértice desde el lado inicial hasta el lado terminal como se muestra en la Figura$\PageIndex{7}$, que muestra un ángulo cuya medida es$\dfrac{3}{4}\pi$ radianes.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

1. Dibuje un ángulo en posición estándar con una medida de radianes de:

$1.14.png$

Figura$\PageIndex{7}$: Un ángulo con medida$\dfrac{3}{4}\pi$ en posición estándar

$\dfrac{\pi}{2}$radianes.
$\pi$radianes.
$\dfrac{3\pi}{2}$radianes.
$\dfrac{-3\pi}{2}$radianes.

2. ¿Cuál es la medida de grado de cada uno de los ángulos en la parte (1)?

Contestar

$1.14 a.png$ $1.14 b.png$ $1.14 c.png$ $1.14 d.png$
\[90^\circ\]
\[180^\circ\]
\[270^\circ\]
\[-270^\circ\]

Conversión entre radianes y grados

La medida de radianes es la medida preferida de ángulos en matemáticas por muchas razones, siendo la principal que un radián no tiene dimensiones. Sin embargo, para utilizar radianes de manera efectiva, vamos a querer poder convertir las mediciones de ángulo entre radianes y grados.

Recordemos que una envoltura del círculo unitario corresponde a un arco de longitud$2\pi$, y un arco de longitud$2\pi$ en el círculo unitario corresponde a un ángulo de$2\pi$ radianes. Un ángulo de también$360^\circ$ es un ángulo que se envuelve una vez alrededor del círculo unitario, por lo que un ángulo de$360^\circ$ es equivalente a un ángulo de$2\pi$ radianes, o

cada grado es$\dfrac{\pi}{180}$ radianes,
cada radián es$\dfrac{180}{\pi}$ grados.

Observe que 1 radián es entonces$\dfrac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$, por lo que un radián es bastante grande en comparación con un grado. Estas relaciones nos permiten convertir rápidamente entre grados y radianes.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Si un ángulo tiene una medida de grado de 35 grados, entonces su medida de radianes se puede calcular de la siguiente manera:

\[35 \space degrees \times \dfrac{\pi \space radians}{180 \space degrees} = \dfrac{35\pi}{180} \space radians\]

Reescribiendo esta fracción, vemos que un ángulo con una medida de 35 grados tiene una medida radianes de$\dfrac{7\pi}{36}$ radianes.

Si un ángulo tiene una medida radianes de$\dfrac{3\pi}{10}$ radianes, entonces su medida de grado se puede calcular de la siguiente manera:

\[\dfrac{3\pi}{10} \space radians \space \times \dfrac{180 \space degrees}{\pi \space radians}= \dfrac{540}{10} \space degrees\]

Entonces un ángulo con una medida radianes de$\dfrac{3\pi}{10}$ tiene una medida de ángulo de 54$^\circ$.

NOTA IMPORTANTE

Dado que un grado es una dimensión, DEBEMOS incluir la marca de grado$^\circ$ cada vez que escribimos la medida de grado de un ángulo. Un radián no tiene dimensión por lo que no hay marca de dimensión que lo acompañe. En consecuencia, si escribimos 2 para la medida de un ángulo entendemos que el ángulo se mide en radianes. Si realmente nos referimos a un ángulo de 2 grados, entonces debemos escribir 2$^\circ$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Complete la siguiente tabla para convertir de grados a radianes y viceversa.

Contestar

Ángulo en Radianes	Ángulo en grados
$0$	$0^\circ$
$\dfrac{\pi}{6}$	$30^\circ$
$\dfrac{\pi}{4}$	$45^\circ$
$\dfrac{\pi}{3}$	$60^\circ$
$\dfrac{\pi}{2}$	$90^\circ$
$\dfrac{7\pi}{6}$	$210^\circ$
$\dfrac{5\pi}{4}$	$225^\circ$
$\dfrac{4\pi}{3}$	$240^\circ$
$\dfrac{3\pi}{2}$	$270^\circ$
$\dfrac{5\pi}{3}$	$300^\circ$
$\dfrac{2\pi}{3}$	$120^\circ$
$\dfrac{4\pi}{3}$	$135^\circ$
$\dfrac{5\pi}{6}$	$150^\circ$
$\pi$	$180^\circ$
$\dfrac{7\pi}{4}$	$315^\circ$
$\dfrac{11\pi}{6}$	$330^\circ$
$2\pi$	$360^\circ$

Las calculadoras y las funciones trigonométricas

Ahora hemos visto eso cuando pensamos en$\sin(t)$ o$\cos(t)$, podemos pensar en un número real, la longitud de un arco, o la medida radianes de un ángulo.$(t)$ En la Sección 1.5, veremos cómo determinar los valores exactos de las funciones coseno y seno para unos pocos arcos (o ángulos) especiales. Por ejemplo, vamos a ver eso$\cos(\dfrac{\pi}{6}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Sin embargo, la definición de coseno y seno como coordenadas de puntos en el círculo unitario dificulta encontrar valores exactos para estas funciones excepto en arcos muy especiales. Si bien los valores exactos son siempre los mejores, la tecnología juega un papel importante al permitirnos aproximar los valores de las funciones circulares (o trigonométricas). La mayoría de las calculadoras de mano, calculadoras en aplicaciones para teléfonos o tabletas y calculadoras en línea tienen una clave coseno y una clave sinusoidal que puedes usar para aproximar valores de estas funciones, pero debemos tener en cuenta que la calculadora solo proporciona una aproximación del valor, no del valor exacto (excepto para una pequeña colección de arcos). Además, la mayoría de las calculadoras aproximarán el seno y el coseno de los ángulos.

Ángulo en radianes	Ángulo en grados
0	$0^\circ$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$90^\circ$
	$120^\circ$
$\dfrac{3\pi}{4}$	$135^\circ$
	$150^\circ$
	$180^\circ$
$\dfrac{7\pi}{6}$
$\dfrac{5\pi}{4}$
$\dfrac{4\pi}{3}$
$\dfrac{3\pi}{2}$	$270^\circ$
	$300^\circ$
	$315^\circ$
	$330^\circ$
$2\pi$	$360^\circ$

Cuadro 1.1: Conversiones entre radianes y grados.

Para ello, la calculadora cuenta con dos modos para ángulos: Radián y Grado. Sea- causa de la correspondencia entre números reales, longitud de arcos, y medidas radianes de ángulos, por ahora, siempre pondremos nuestras calculadoras en modo radián. De hecho, hemos visto que un ángulo medido en radianes subtiende un arco de esa medida radianes a lo largo del círculo unitario. Entonces el coseno o seno de una medida de ángulo en radianes es lo mismo que el coseno o seno de un número real cuando ese número real se interpreta como la longitud de un arco a lo largo del círculo unitario. (Cuando estudiemos la trigonometría de triángulos en el Capítulo 3, utilizaremos el modo grado. Para una discusión introductoria de las funciones trigonométricas de una medida de ángulo en grados, ver Ejercicio (4)).

Ejercicio$\PageIndex{4}$

En el Ejercicio 1.6, utilizamos el Applet de Geogebra llamado Puntos Terminales de Arcos en el Círculo Unitario en http://gvsu.edu/s/JY para aproximar los valores de las funciones coseno y seno a ciertos valores. Por ejemplo, encontramos que

$\cos(1) \approx 0.5403$,$\sin(1) \approx 0.8415$.
$\cos(2) \approx -0.4161$,$\sin(2) \approx 0.9093$.
$\cos(-4) \approx -0.6536$,$\sin(-4) \approx 0.7568$.
$\cos(-15) \approx -0.7597$,$\sin(-15) \approx -0.6503$.

Utilice una calculadora para determinar estos valores de las funciones coseno y seno y comparar los valores con los anteriores. ¿Son iguales? ¿En qué se diferencian? $página48imagen3380531440$

Contestar

Usando una calculadora, obtenemos los siguientes resultados correctos a diez decimales.

$\cos(1) \approx 0.5403023059, \sin(1) \approx 0.8414709848$. $\cos(1) \approx 0:4161468365, \sin(1) \approx 0.9092974268$.

La diferencia entre estos valores y los obtenidos en la Comprobación de Progreso 1.6 es que estos valores son correctos a 10 decimales (y los demás son correctos a 4 decimales). Si redondeamos cada uno de los valores anteriores a 4 decimales, obtenemos los mismos resultados que obtuvimos en la Comprobación de Progreso 1.6.

$\cos(1) \approx 0:6536436209, \sin(1) \approx 0.7568024953$.
$\cos(1) \approx 0:7596879129, \sin(1) \approx 0.6502878402$.

Resumen de la Sección 1.3

En esta sección, estudiamos los siguientes conceptos e ideas importantes:

Un ángulo se forma girando un rayo alrededor de su punto final. El rayo en su posición inicial se llama el lado inicial del ángulo, y la posición del rayo después de haber sido girado se llama el lado terminal del rayo. El punto final del rayo se llama el vértice del ángulo.
Cuando el vértice de un ángulo está en el origen en el$xy$ plano -y el lado inicial se encuentra a lo largo del eje x positivo, vemos que el ángulo está en posición estándar.
Hay dos formas de medir ángulos. Para la medida de grado, una envoltura completa alrededor de un círculo es de 360 grados, denotada 360$^\circ$. La unidad de medida de 1$^\circ$ es un ángulo que es 1=360 del ángulo central de un círculo. Un ángulo de un radián es el ángulo en posición estándar en el círculo unitario que está subtendido por un arco de longitud 1 (en la dirección positiva).
Convertimos la medida de un ángulo de grados a radianes utilizando el hecho de que cada grado es radianes. Convertimos la medida de un ángulo de 180 radianes a grados utilizando el hecho de que cada radián es de 180 grados.

Ángulo en Radianes	Ángulo en grados
\(0\)	\(0^\circ\)
\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(30^\circ\)
\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(45^\circ\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(60^\circ\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(90^\circ\)
\(\dfrac{7\pi}{6}\)	\(210^\circ\)
\(\dfrac{5\pi}{4}\)	\(225^\circ\)
\(\dfrac{4\pi}{3}\)	\(240^\circ\)
\(\dfrac{3\pi}{2}\)	\(270^\circ\)
\(\dfrac{5\pi}{3}\)	\(300^\circ\)
\(\dfrac{2\pi}{3}\)	\(120^\circ\)
\(\dfrac{4\pi}{3}\)	\(135^\circ\)
\(\dfrac{5\pi}{6}\)	\(150^\circ\)
\(\pi\)	\(180^\circ\)
\(\dfrac{7\pi}{4}\)	\(315^\circ\)
\(\dfrac{11\pi}{6}\)	\(330^\circ\)
\(2\pi\)	\(360^\circ\)

Ángulo en radianes	Ángulo en grados
0	\(0^\circ\)
\(\dfrac{\pi}{6}\)
\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(90^\circ\)
	\(120^\circ\)
\(\dfrac{3\pi}{4}\)	\(135^\circ\)
	\(150^\circ\)
	\(180^\circ\)
\(\dfrac{7\pi}{6}\)
\(\dfrac{5\pi}{4}\)
\(\dfrac{4\pi}{3}\)
\(\dfrac{3\pi}{2}\)	\(270^\circ\)
	\(300^\circ\)
	\(315^\circ\)
	\(330^\circ\)
\(2\pi\)	\(360^\circ\)

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