3.4: Aplicaciones de Trigonometría Triangular

Preguntas de enfoque

Las siguientes preguntas están destinadas a orientar nuestro estudio del material en esta sección. Después de estudiar esta sección, debemos entender los conceptos motivados por estas preguntas y poder escribir respuestas precisas y coherentes a estas preguntas.

• ¿Cómo utilizamos la Ley de los Sinos y la Ley de los Cosinos para ayudar a resolver problemas aplicados que involucran triángulos?
• ¿Cómo determinamos el área de un triángulo?
• ¿Cuál es la Ley de Garza para el área de un triángulo?

En la Sección 3.2, utilizamos triángulos rectos para resolver algunos problemas aplicados. Entonces no debería sorprender que podamos usar la Ley de los Sinos y la Ley de los Cosinos para resolver problemas aplicados que involucran triángulos que no son triángulos rectos.

En la mayoría de los problemas, primero obtendremos un diagrama aproximado o una imagen que muestre el triángulo o triángulos involucrados en el problema. Entonces necesitamos etiquetar las cantidades conocidas. Una vez hecho eso, podemos ver si hay suficiente información para usar la Ley de los Sinos o la Ley de los Cosinos. Recuerda que cada una de estas leyes involucra cuatro cantidades. Si conocemos el valor de tres de esas cuatro cantidades, podemos usar esa ley para determinar la cuarta cantidad.

Comenzamos con el ejemplo en Ejercicio\(\PageIndex{1}\). La solución de este problema implicó algún trabajo complicado con triángulos rectos y algo de álgebra. Ahora resolveremos este problema utilizando los resultados de la Sección 3.3.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Height to the Top of a Flagpole

Supongamos que el asta se asienta en lo alto de un cerro y que no podemos medir directamente la longitud de la sombra del asta como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Algunas cantidades han sido etiquetadas en el diagrama. Ángulos\(\alpha\) y\(\beta\) son ángulos de elevación a la parte superior del asta de la bandera desde dos puntos diferentes en terreno nivelado. Estos puntos están a\(d\) pies de distancia y directamente en línea con el asta de la bandera. El problema es determinar\(h\), la altura desde el suelo nivelado hasta la parte superior del asta de la bandera. Se han registrado las siguientes mediciones.

\[\alpha = 43.2^\circ\]

\[\beta = 34.7^\circ\]

\[d = 22.75feet\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Asta de bandera en una colina

Notamos que si supiéramos ya sea longitud\(BC\) o\(BD\) en\(\triangle BDC\), entonces podríamos usar trigonometría de triángulo rectángulo para determinar la longitud\(BC\), que es igual a h. Ahora mira\(\triangle ABC\). Se nos da un ángulo\(\beta\). Sin embargo, también conocemos la medida del ángulo\(\alpha\). Debido a que forman un ángulo recto, tenemos\[\angle ABC + \alpha = 180^\circ\]

De ahí,\[\angle ABC = 180^\circ - 43.2^\circ = 136.8^\circ\]. Ahora conocemos dos ángulos en\(\triangle ABC\) y por lo tanto, podemos determinar el tercer ángulo de la siguiente manera: Ahora\[\beta + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\]\[34.7^\circ + 136.8^\circ + \angle ACB = 180^\circ\]\[\angle ACB = 8.5^\circ\]
conocemos todos los ángulos en\(\triangle ABC\) y la longitud de un lado. Podemos usar la Ley de los Sinos. Tenemos

\[\dfrac{AC}{\sin(34.7^\circ)} = \dfrac{22.75^\circ}{\sin(8.5^\circ)}\]

\[AC = \dfrac{22.75\sin(34.7^\circ)}{\sin(8.5^\circ)} \approx 87.620\]

Ahora podemos usar el triángulo rectángulo\(\triangle BDC\) para determinar de la\(h\) siguiente manera:

\[\dfrac{h}{AC} = \sin(43.2^\circ)\]

\[h = AC\cdot \sin(43.2^\circ) \approx 59.980\]

Por lo que la parte superior del asta de la bandera se encuentra a 59.980 pies sobre el suelo. Esta es la misma respuesta que obtuvimos en Ejercicio\(\PageIndex{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un puente se va a construir a través de un río. El puente irá de punto\(A\) a punto\(B\) en el diagrama de la derecha. Usando un tránsito (un instrumento para medir ángulos seguros), un topógrafo mide el ángulo\(ABC\) a ser\(94.2^\circ\) y mide el ángulo\(BCA\) a ser\(48.5^\circ\). Además, la distancia de\(B\) a\(C\) se mide para ser de 98.5 pies. ¿Cuánto durará el puente de punto\(B\)\(A\) a punto?

Contestar

Primero notamos eso\(\angle{BAC} = 180^\circ - 94.2^\circ - 48.5^\circ\) y así\(\angle{BAC} = 37.3^\circ\). Entonces podemos usar la Ley de los Sinos para determinar la longitud de\(A\) a la\(B\) siguiente manera:

\[\dfrac{AB}{\sin(48.5^\circ)} = \dfrac{98.5}{\sin(37.3^\circ)}\]

\[AB = \dfrac{98.5\sin(48.5^\circ)}{\sin(37.3^\circ)}\]

\[AB \approx 121.7\]
El puente de punto\(B\) a punto\(A\) tendrá aproximadamente\(121.7\) pies de largo.

Área de un Triángulo

Ahora desarrollaremos algunas formas diferentes de calcular el área de un triángulo. Quizás la fórmula más familiar para la zona es la siguiente:

Los triángulos de la Figura\(\PageIndex{2}\) ilustran el uso de las variables en esta fórmula.

El área\(A\) de un triángulo es\[A = \dfrac{1}{2}bh.\]

donde\(b\) es la longitud de la base de un triángulo y\(h\) es la longitud de la altitud que es perpendicular a esa base.

Figura\(\PageIndex{2}\): Diagramas para la Fórmula para el Área de un Triángulo

Una prueba de esta fórmula para el área de un triángulo depende de la fórmula para el área de un paralelogramo y se incluye en el Apéndice C.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que la longitud de dos lados de un triángulo son\(5\) metros y\(7\) metros y que el ángulo formado por estos dos lados es\(26.5^\circ\). Ver el diagrama a la derecha.

Para este problema, estamos usando el lado de los\(7\) metros de longitud como base. Se muestra la altitud de longitud\(h\) que es perpendicular a este lado.

1. Utilice trigonometría de triángulo rectángulo para determinar el valor de\(h\).
2. Determinar el área de este triángulo.

Contestar

Usando el triángulo rectángulo, vemos eso\(\sin(26.5^\circ) = \dfrac{h}{5}\). Entonces\(h = 5\sin(26.5^\circ)\), y el área del triángulo es

\[A = \dfrac{1}{2}(7)[5\sin(26.5^\circ)] = \dfrac{35}{2}\sin(26.5^\circ) \approx 7.8085\]

El área del triángulo es de aproximadamente metros\(7.8085\) cuadrados.

El propósito de la Comprobación de Progreso 3.21 fue ilustrar que si conocemos la longitud de dos lados de un triángulo y el ángulo formado por estos dos lados, entonces podemos determinar el área de ese triángulo.

El Área de un Triángulo

El área de un triángulo equivale a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo formado por estos dos lados.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

En el diagrama de la derecha,\(b\) está la longitud de la base de un triángulo,\(a\) es la longitud de otro lado, y\(\theta\) es el ángulo formado por estos dos lados. Dejamos\(A\) ser el área del triángulo.

Siga el procedimiento ilustrado en Avance Check 3.21 para acreditar que\[A = \dfrac{1}{2}ab\sin(\theta)\]

Explique por qué esto prueba la fórmula para el área de un triángulo.

Contestar

Usando el triángulo rectángulo, vemos eso\(\sin(\theta) = \dfrac{h}{a}\). Entonces\(h = a\sin(\theta\), y el área del triángulo es\[A = \dfrac{1}{2}b(a\sin(\theta)) = \dfrac{1}{2}ab\sin(\theta)\]

Existe otra fórmula común para el área de un triángulo conocido como la Fórmula de Garza que lleva el nombre de Garza de Alejandría (circa 75 CE). Esta fórmula muestra que el área de un triángulo se puede calcular si se conocen las longitudes de los tres lados del triángulo.

Fórmula de Heron

El área\(A\) de un triángulo con lados de longitud\(a\),\(b\), y\(c\) viene dada por la fórmula

\[A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \label{Heron}\]

donde\(s = \dfrac{1}{2}(a+ b + c)\).

Por ejemplo, supongamos que las longitudes de los tres lados de un triángulo son\(a = 3ft\),\(b = 5ft\), y\(c = 6ft\). Usando la Fórmula de Heron (Ecuación\ ref {Heron}), obtenemos

\[s = \dfrac{1}{2}(a+ b + c)\]

\[s = 7\]

\[A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\]

\[A = \sqrt{7(7 - 3)(7 - 5)(7 - 6)}\]

\[A = \sqrt{42}\]

Esta fórmula bastante compleja en realidad se deriva de la fórmula anterior para el área de un triángulo y la Ley de Cosinos. Comenzamos nuestra exploración de la prueba de esta fórmula en Progress Check

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que tenemos un triángulo como se muestra en el diagrama a continuación.

1. Usa la Ley de Cosinos que involucra el ángulo\(\gamma\) y resuelve esta fórmula para\(\cos(\gamma)\). Esto da una fórmula para\(\cos(\gamma)\) en términos de\(a\),\(b\), y\(c\).
2. Usa la Identidad Pitagórica\(\cos^{2}(\gamma) + \sin^{2}(\gamma) = 1\) 1 para escribir\(\sin(\gamma)\) en términos de\(\cos^{2}(\gamma)\). Sustituir el\(\cos^{2}(\gamma)\) uso de la fórmula en (1). Esto da una fórmula para\(\sin(\gamma)\) en términos de\(a\),\(b\), y\(c\). (No hacer ninguna simplificación algebraica.)
3. También sabemos que una fórmula para el área de este triángulo es\(A = \dfrac{1}{2}ab\sin(\gamma)\)

Sustituir el\(\sin(\gamma)\) uso de la fórmula en (2). (No hacer ninguna simplificación algebraica.) Esto da una fórmula para el área\(A\) en términos de\(a\),\(b\), y\(c\).

La fórmula obtenida en la Comprobación de Progreso 3.23 fue\[A = \dfrac{1}{2}ab\sqrt{1 - (\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab})^{2}}\]

Esta es una fórmula para el área de un triángulo en términos de las longitudes de los tres lados del triángulo. No se parece a la Fórmula de Heron, pero podemos usar algún álgebra sustancial para reescribir esta fórmula para obtener la Fórmula de Heron. Este trabajo algebraico se completa en el apéndice de esta sección.

Contestar

1. Usando la Ley de Cosinos, vemos que\[c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos(\gamma)\]\[2ab\cos(\gamma) = a^{2} + b^{2} - c^{2}\]\[\cos(\gamma) = \dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\]

2. Vemos que

\[\sin^{2}(\gamma) = 1 - \cos^{2}(\gamma).\]

Ya que\(\gamma\) es entre\(0^\circ\) y\(180^\circ\), sabemos que\(\sin(\gamma) > 0\) y así

\[\sin(\gamma) = \sqrt{\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}{2ab}}\]

3. Sustituyendo la ecuación en la parte (2) en la fórmula\(A = \dfrac{1}{ab}\sin(\gamma)\), obtenemos

\[A = \dfrac{1}{2}ab\sin(\gamma) = \dfrac{1}{2}ab\sqrt{1 - (\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}{2ab})^{2}}\]

Apéndice — Prueba de la fórmula de Heron

La fórmula para el área de un triángulo obtenida en la Comprobación de Progreso 3.23 fue\[A = \dfrac{1}{2}ab\sqrt{1 - (\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab})^{2}}\]

Ahora completamos el álgebra para demostrar que esto es equivalente a la fórmula de Heron. El primer paso es reescribir la parte bajo el signo de raíz cuadrada como una sola fracción.

\[A = \dfrac{1}{2}ab\sqrt{1 - (\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab})^{2}}\]

\[= \dfrac{1}{2}ab\sqrt{\dfrac{(2ab)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}{(2ab)^{2}}}\]

\[= \dfrac{1}{2}ab\dfrac{\sqrt{(2ab)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}}{2ab}\]

\[= \dfrac{\sqrt{(2ab)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}}{4}\]

Al cuadrar ambos lados de la última ecuación, obtenemos\[A^{2} = \dfrac{(2ab)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}{16}\]

El numerador en el lado derecho de la última ecuación es una diferencia de cuadrados. Ahora usaremos la fórmula de diferencia de cuadrados,\(x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y)\) para factorial el numerador.

\[A^{2} = \dfrac{(2ab)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}{16}\]

\[= \dfrac{(2ab - (a^{2} + b^{2} - c^{2}))(2ab + (a^{2} + b^{2} - c^{2}))}{16}\]

\[= \dfrac{(-a^{2} + 2ab - b^{2} + c^{2})(a^{2} + 2ab + b^{2} - c^{2})}{16}\]

Ahora nos damos cuenta de que\(-a^{2} + 2ab - b^{2} = -(a - b)^{2}\) y\(a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}\). Entonces, usando estos en la última ecuación, tenemos

\[A^{2} = \dfrac{(-(a - b)^{2} + c^{2})((a + b)^{2} - c^{2})}{16}\]

\[= \dfrac{(-[(a - b)^{2} - c^{2}])((a + b)^{2} - c^{2})}{16}\]

Podemos utilizar una vez más la fórmula de diferencia de cuadrados de la siguiente manera:

\[(a - b)^{2} - c^{2} = (a - b - c)(a - b + c)\]

\[(a + b)^{2} - c^{2} = (a + b - c)(a + b + c)\]

Sustituyendo esta información en la última ecuación por\(A^{2}\), obtenemos\[A^{2} = \dfrac{-(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c)}{16}\]

Ya que\(s = \dfrac{1}{2}(a + b + c)\),\(2s = a + b + c\) ahora notamos que

\[-(a - b - c) = -a + b + c = a + b + c - 2a = 2s - 2a\]

\[a - b + c = a + b + c -2b = 2s - 2b\]

\[a + b + c = a + b + c -2c = 2s - 2c\]

\[a + b + c = 2s\]

por lo

\[A^{2} = \dfrac{-(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c)}{16}\]
\[= \dfrac{(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)(2s)}{16}\]
\[= \dfrac{16s(s - a)(s - b)(s - c)}{16}\]
\[= s(s - a)(s - b)(s - c)\]
\[A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\]

Esto completa la prueba de la fórmula de Heron.

Resumen

En esta sección, se estudiaron los siguientes conceptos e ideas importantes:

• Cómo utilizar la trigonometría del triángulo rectángulo, la Ley de los Senos y la Ley de los Cosinos para resolver problemas aplicados que involucran triángulos.
• Tres formas de determinar el área\(A\) de un triángulo.

\(A = \dfrac{1}{2}bh\), donde\(b\) es la longitud de la base y\(h\) es la longitud de la altitud.

\(A = \dfrac{1}{2}ab\), donde\(a\) y\(b\) son las longitudes de dos lados del triángulo y\(\theta\) es el ángulo formado por los lados de longitud\(a\) y\(b\).
Fórmula de Heron. Si\(a\),\(b\), y\(c\) son las longitudes de los lados de un triángulo y\(s = \dfrac{1}{2}(a + b + c)\), entonces\[A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.\]