4.1: Identidades trigonométricas

Preguntas de enfoque

Las siguientes preguntas están destinadas a orientar nuestro estudio del material en esta sección. Después de estudiar esta sección, debemos entender los conceptos motivados por estas preguntas y poder escribir respuestas precisas y coherentes a estas preguntas.

• ¿Qué es una identidad?
• ¿Cómo verificamos una identidad?

Considera la ecuación trigonométrica\(\sin(2x) = \cos(x)\). Con base en nuestro conocimiento actual, una ecuación como esta puede ser difícil de resolver exactamente porque los periodos de las funciones involucradas son diferentes. Lo que nos permitirá resolver esta ecuación con relativa facilidad es una identidad trigonométrica, y la resolveremos explícitamente en una sección posterior. Esta sección es una introducción a las identidades trigonométricas.

Como discutimos en la Sección 2.6, una ecuación matemática como\(x^{2} = 1\) es una relación entre dos expresiones que puede ser cierta para algunos valores de la variable. Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores para las variables que hacen que las dos expresiones sean iguales entre sí. Una identidad, es una ecuación que es verdadera para todos los valores permitidos de la variable. Por ejemplo, de cursos previos de álgebra, hemos visto que

\[x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)\]

para todos los números reales\(x\). Esta es una identidad algebraica ya que es cierto para todos los valores de número real de\(x\). Un ejemplo de identidad trigonométrica es\(\cos^{2} + \sin^{2} = 1\) ya que esto es cierto para todos los valores numéricos reales de\(x\).

Entonces mientras resolvemos ecuaciones para determinar cuándo es válida la igualdad, no hay razón para resolver una identidad ya que la igualdad en una identidad siempre es válida. Toda identidad es una ecuación, pero no todas las ecuaciones son una identidad. Para saber que una ecuación es una identidad es necesario proporcionar un argumento convincente de que las dos expresiones en la ecuación son siempre iguales entre sí. Un argumento tan convincente se llama prueba y utilizamos pruebas para verificar identidades trigonométricas.

Definición: Identidad

Una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores permitidos de las variables involucradas.

Actividad inicial

1. Utilice una utilidad gráfica para dibujar la gráfica de\(y = \cos(x - \dfrac{\pi}{2})\) y\(y = \sin(x + \dfrac{\pi}{2})\) sobre el intervalo\([-2\pi, 2\pi]\) en el mismo conjunto de ejes. ¿Son las dos expresiones\(\cos(x - \dfrac{\pi}{2})\) y\(\sin(x + \dfrac{\pi}{2})\) lo mismo, es decir, tienen el mismo valor para cada entrada\(x\)? Si es así, explique cómo las gráficas indican que las expresiones son las mismas. Si no es así, encuentra al menos un valor de\(x\) al cual\(\cos(x - \dfrac{\pi}{2})\) y\(y = \sin(x + \dfrac{\pi}{2})\) tener valores diferentes.
2. Utilice una utilidad gráfica para dibujar la gráfica de\(y = \cos(x - \dfrac{\pi}{2})\) y\(y = \sin(x)\) sobre el intervalo\([-2\pi , 2\pi]\) en el mismo conjunto de ejes. ¿Son las dos expresiones\(\cos(x - \dfrac{\pi}{2})\) y\(\sin(x)\) lo mismo, es decir, tienen el mismo valor para cada entrada\(x\)? Si es así, explique cómo las gráficas indican que las expresiones son las mismas. Si no es así, encuentra al menos un valor de\(x\) al cual\(\cos(x - \dfrac{\pi}{2})\) y\(\sin(x)\) tener valores diferentes.

Algunas identidades trigonométricas conocidas

Ya hemos establecido algunas identidades trigonométricas importantes. Podemos usar las siguientes identidades para ayudar a establecer nuevas identidades.

La identidad pitagórica

Esta identidad es fundamental para el desarrollo de la trigonometría. Ver Sección 1.2.

Para todos los números reales\(t\),

\[\cos^{2} + \sin^{2} = 1.\]

Identidades a partir de definiciones

Las definiciones de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante se introdujeron en la Sección 1.6. Los siguientes son válidos para todos los valores\(t\) para los cuales se define el lado derecho de cada ecuación.

\[\tan(t) = \dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}\]

\[\cot(t) = \dfrac{\cos(t)}{\sin(t)}\]

\[\sec(t) = \dfrac{1}{\cos(t)}\]

\[\csc(t) = \dfrac{1}{\sin(t)}\]

Identidades Negativas

Los negativos se introdujeron en el Capítulo 2 cuando se discutió la simetría de las gráficas. (Ver página 82 y Ejercicio (2) en la página 139.)

\[\cos(-t) = \cos(t)\]

\[\sin(-t) = -\sin(t)\]

\[\tan(-t) = -\tan(t)\]

Las identidades negativas para coseno y seno son válidas para todos los números reales\(t\), y la identidad negativa para tangente es válida para todos los números reales\(t\) para los que\(\tan(t)\) se define.

Verificación de Identidades

Dadas dos expresiones, digamos\(\tan^{2}(x) + 1\) y\(\sec^{2}(x)\), nos gustaría saber si son iguales (es decir, tienen los mismos valores para cada entrada permisible) o no. Podemos dibujar las gráficas de\(y = \tan^{2}(x) + 1\) y\(y = \sec^{2}(x)\) y ver si las gráficas se ven iguales o diferentes. Incluso si las gráficas tienen el mismo aspecto, como lo hacen con\(y = \tan^{2}(x) + 1\) y\(y = \sec^{2}(x)\), eso es sólo una indicación de que las dos expresiones son iguales para cada entrada permisible. Para verificar que las expresiones son de hecho siempre iguales, necesitamos proporcionar un argumento convincente que funcione para todas las entradas posibles. Para ello utilizamos hechos que conocemos (identidades existentes) para mostrar que dos expresiones trigonométricas son siempre iguales. A modo de ejemplo, verificaremos que la ecuación\[\tan^{2}(x) + 1 = \sec^{2}(x)\] es una identidad.

Un formato adecuado para este tipo de argumentos es elegir un lado de la ecuación y aplicar identidades existentes que ya conocemos para transformar el lado elegido en el lado restante. Por lo general, hace la vida más fácil comenzar por el lado de aspecto más complicado (si hay uno). En nuestro ejemplo de ecuación (1) podríamos comenzar con la expresión\(\tan^{2}(x) + 1\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Verifying a Trigonometric Identity

Para verificar que la ecuación (1) es una identidad, trabajamos con la expresión\(\tan^{2}(x) + 1\). A menudo puede ser una buena idea escribir todas las funciones trigonométricas en términos de coseno y seno para comenzar. En este caso, lo sabemos\(\tan(t) = \dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}\), por lo que podríamos comenzar por hacer esta sustitución para obtener la identidad\[\tan^{2}(x) + 1 = (\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)})^{2} + 1\]

Tenga en cuenta que esta es una identidad y por lo tanto es válida para todos los valores permitidos de la variable. A continuación podemos aplicar el cuadrado tanto al numerador como al denominador del lado derecho de nuestra identidad (2).

\[(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)})^{2} + 1 = \dfrac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} + 1\]

A continuación podemos realizar algún álgebra para combinar las dos fracciones del lado derecho de la identidad (3) y obtener la nueva identidad

\[\dfrac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} + 1 = \dfrac{\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}\]

Ahora podemos reconocer la identidad pitagórica\(\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1\), lo que hace que el lado derecho de la identidad (4)
\[\dfrac{\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} = \dfrac{1}{\cos^{2}(x)}\]

Recordemos que nuestro objetivo es verificar la identidad (1), por lo que necesitamos transformar la expresión en\(\sec^{2}(x)\). Recordemos eso\(\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}\), y así el lado derecho de la identidad (5) conduce a la nueva identidad que verifica la identidad.

\[\dfrac{1}{\cos^{2}(x)} = \sec^{2}(x)\]

Un argumento como el que acabamos de dar que demuestra que una ecuación es una identidad se llama prueba. Por lo general, dejamos fuera la mayoría de los pasos explicativos (los pasos deben ser evidentes a partir de las ecuaciones) y escribir una prueba en una larga cadena de identidades como

\[\tan^{2}(x) + 1 = (\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)})^{2} + 1 = \dfrac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} + 1= \dfrac{\sin^{2} + \cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} = \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} = \sec^{2}(x).\]

Demostrar una identidad es mostrar que las expresiones en cada lado de la ecuación son las mismas para cada entrada permisible. Ilustramos este proceso con la ecuación\(\tan^{2}(x) + 1 = \sec^{2}(x)\). Para demostrar que una ecuación no es una identidad basta con demostrar que los dos lados de la ecuación tienen valores diferentes en una entrada.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): (Showing that an Equation is not an Identity)

Consideremos la ecuación con la ecuación\(\cos(x - \dfrac{\pi}{2}) = \sin(x + \dfrac{\pi}{2})\) que encontramos en nuestra Actividad de Inicio. Aunque se puede comprobar eso\(\cos(x - \dfrac{\pi}{2})\) y\(\sin(x + \dfrac{\pi}{2})\) son iguales en algunos valores,\(\dfrac{\pi}{4}\) por ejemplo, no son iguales en todos los valores—\(\cos(0 - \dfrac{\pi}{2}) = 0\) sino\(\sin(0 + \dfrac{\pi}{2}) = 1\). Dado que una identidad debe proporcionar una igualdad para todos los valores permitidos de la variable, si las dos expresiones difieren en una entrada, entonces la ecuación no es una identidad. Entonces la ecuación no\(\cos(x - \dfrac{\pi}{2}) = \sin(x + \dfrac{\pi}{2})\) es una identidad.

El ejemplo 4.2 ilustra un punto importante. para mostrar que una ecuación no es una identidad, basta con encontrar una entrada en la que los dos lados de la ecuación no sean iguales. Resumimos nuestro trabajo con identidades de la siguiente manera.

• Para probar que una ecuación es una identidad, necesitamos aplicar identidades conocidas para mostrar que un lado de la ecuación puede transformarse en el otro.
• Para probar que una ecuación no es una identidad, necesitamos encontrar una entrada en la que los dos lados de la ecuación tengan valores diferentes.

Nota importante: Al probar una identidad puede ser tentador comenzar a trabajar con la ecuación misma y manipular ambos lados hasta llegar a algo que sabe que es verdad. ¡NO HAGAS ESTO! Al trabajar con ambos lados de la ecuación, estamos haciendo la suposición de que la ecuación es una identidad —pero esto supone lo mismo que necesitamos mostrar. Entonces, el formato adecuado para una prueba de una identidad trigonométrica es elegir un lado de la ecuación y aplicar identidades existentes que ya conocemos para transformar el lado elegido en el lado restante. Por lo general, hace la vida más fácil comenzar por el lado de aspecto más complicado (si hay uno).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Verifying an Identity

Considerar la ecuación Aparecen\[2\cos^{2}(x) - 1 = \cos^{2}(x) - \sin^{2}(x).\]
gráficas de ambos lados para indicar que esta ecuación es una identidad. Para acreditar la identidad partimos por el lado izquierdo:

\[2\cos^{2}(x) - 1 = \cos^{2}(x) + \cos^{2}(x) - 1 = \cos^{2}(x) + (1 - \sin^{2}(x)) - 1 = \cos^{2}(x) - \sin^{2}(x).\]

Observe que en nuestra prueba reescribimos la identidad pitagórica\(\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1\) como\(\cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x)\). Cualquier reordenamiento adecuado de una identidad también es una identidad, por lo que podemos manipular identidades conocidas para utilizarlas también en nuestras pruebas.

Para reiterar, el formato adecuado para una prueba de identidad trigonométrica es elegir un lado de la ecuación y aplicar identidades existentes que ya conocemos para transformar el lado elegido en el lado restante. No hay métodos duros y rápidos para probar identidades — es un poco un arte. Debes practicar para llegar a ser bueno en ello.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Para cada uno de los siguientes, use una utilidad gráfica para graficar ambos lados de la ecuación. Si las gráficas indican que la ecuación no es una identidad, encuentre un valor\(x\) en el que los dos lados de la ecuación tengan valores diferentes. Si las gráficas indican que la ecuación es una identidad, verifica la identidad.

1. \[\dfrac{\sec^{2}(x) - 1}{\sec^{2}(x)} = \sin^{2}(x)\]
2. \[\cos(x)\sin(x) = 2\sin(x)\]

Contestar

1. Las gráficas de ambos lados de la ecuación indican que se trata de una identidad.

2. Las gráficas de ambos lados de la ecuación indican que esto no es una identidad. Por ejemplo, si dejamos\(x = \dfrac{\pi}{2}\), entonces

\[\cos(\dfrac{\pi}{2})\sin(\dfrac{\pi}{2}) = 0\cdot 1 = 0\]y\[2\sin(\dfrac{\pi}{2}) = 2\cdot 1 = 2\]

Resumen

En esta sección, se estudiaron los siguientes conceptos e ideas importantes:

Una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores permitidos de las variables involucradas.

• Para probar que una ecuación es una identidad, necesitamos aplicar identidades conocidas para mostrar que un lado de la ecuación puede transformarse en el otro.
• Para probar que una ecuación no es una identidad, necesitamos encontrar una entrada en la que los dos lados de la ecuación tengan valores diferentes.