4.4: Enfoque bayesiano de las tasas evolutivas

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Finalmente, también podemos usar un enfoque bayesiano para ajustar modelos de movimiento brownianos a los datos y estimar la tasa de evolución. Este enfoque difiere del enfoque ML en que usaremos previos explícitos para valores de parámetros, y luego ejecutaremos un MCMC para estimar distribuciones posteriores de estimaciones de parámetros. Para ello, modificaremos el algoritmo básico para MCMC bayesiano (ver Capítulo 2) de la siguiente manera:

Muestree un conjunto de valores de parámetros iniciales, σ ² y $\ bar {z} (0) $ de sus distribuciones anteriores. Para este ejemplo, podemos establecer nuestra distribución anterior como uniforme entre 0 y 0.5 para σ ² y uniforme de 0 a 10 para $\ bar {z} (0) $.
Dados los valores actuales de los parámetros, seleccione nuevos valores de parámetros propuestos utilizando la densidad propuesta Q (p ′| p). Para ambos valores de parámetro, utilizaremos una densidad de propuesta uniforme con ancho w _p, de manera que: (eq. 4.10)
\[ Q(p'|p) \sim U(p-\frac{w_p}{2}, p+\frac{w_p}{2}) \]
Calcula tres proporciones:
- El odds ratio anterior, R _{p r i o r}. Esta es la relación de la probabilidad de dibujar los valores de los parámetros p y p' del anterior. Ya que nuestros antecedentes son uniformes, esto siempre es 1.
- La relación de densidad propuesta, R _{p r o p o s a l}. Esta es la relación de probabilidad de propuestas que van de p a p 'y a la inversa. Ya hemos declarado una densidad simétrica de propuesta, de manera que Q (p ′| p) = Q (p | p ′) y R _{p r o p o s a}l = 1.
- El cociente de verosimilitud, R _{l i k e l i h o o d}. Esta es la relación de probabilidades de los datos dados los dos valores de parámetros diferentes. Podemos calcular estas probabilidades a partir de la ecuación 4.5 anterior. (eq. 4.11)
  \[ R_{likelihood} = \frac{L(p'|D)}{L(p|D)} = \frac{P(D|p')}{P(D|p)} \]
Encuentre la relación de aceptación, R _{a c c e p t}, que es producto de las probabilidades anteriores, la relación de densidad propuesta y la razón de verosimilitud. En este caso, tanto las probabilidades previas como las relaciones de densidad propuesta son 1, por lo que R _{a c c e p t} = R _{l i k e l i h o d}.
Dibuja un número aleatorio x a partir de una distribución uniforme entre 0 y 1. Si x < R _{a c c e p t}, acepte el valor propuesto de ambos parámetros; de lo contrario rechace, y conserve el valor actual de los dos parámetros.
Repita los pasos 2-5 una gran cantidad de veces.

Usando los datos del tamaño corporal de los mamíferos, corrí un MCMC con 10,000 generaciones, descartando las primeras 1000 como burn-in. Muestreando cada 10 generaciones, obtengo estimaciones de parámetros de $\ hat {\ sigma} _ {bayes} ^2 = 0.10$ (intervalo de 95% creíble: 0.066 − 0.15) y $\ hat {\ bar {z}} (0) = 3.5$ (intervalo 95% creíble: 2.3 − 5.3; Figura 4.5).

Figura 4.5. Análisis bayesiano de la evolución del tamaño corporal en mamíferos. La figura muestra el perfil de verosimilitud (A) y las distribuciones posteriores para los parámetros del modelo\ hat {\ sigma} _ {bayes} ^2 (B) y\ hat {\ bar {z}} (0) (C). Imagen del autor, puede ser reutilizada bajo licencia CC-BY-4.0. — La figura muestra el perfil de verosimilitud (A) y las distribuciones posteriores para los parámetros del modelo $\ hat {\ sigma} _ {bayes} ^2$ (B) y $\ hat {\ bar {z}} (0) $ (C). Imagen del autor, puede ser reutilizada bajo licencia CC-BY-4.0.

Tenga en cuenta que las estimaciones de los parámetros de los tres enfoques (REML, ML y Bayesiano) fueron similares. Incluso los intervalos de confianza/credibilidad variaron un poco pero fueron de aproximadamente el mismo tamaño en los tres casos. Todos los enfoques anteriores están matemáticamente relacionados y deben, en general, devolver resultados similares. Uno podría dar mayor valor a los intervalos bayesianos creíbles sobre los intervalos de confianza del hessian de la superficie de verosimilitud, por dos razones: primero, el hessiano conduce a una estimación del IC bajo ciertas condiciones que pueden o no ser ciertas para su análisis; y segundo, intervalos bayesianos creíbles reflejar la incertidumbre general mejor que los intervalos de confianza ML (ver capítulo 2).