7.3: Datos hipotéticos de insectos
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Para una ilustración detallada de los métodos utilizados en estas cuatro gráficas y una ilustración de las oscilaciones poblacionales, considere los datos hipotéticos de insectos en la Tabla\(\PageIndex{1}\). Los insectos suelen tener ciclos reproductivos de un año; estos pueden ser propensos a las oscilaciones, y también son conocidos por “brotes” (por ejemplo, de enfermedad o de plagas). Los datos de la Tabla\(\PageIndex{1}\) fueron generados por la ecuación de diferencia
\[\dfrac{1}{N} \dfrac{∆N}{∆t} = r + sN,\]
con\(r = 3\) y\(s = −4\). La tabla muestra una población inicial de alrededor de 11 mil organismos individuales. Al año siguiente hay alrededor de 44 mil, luego 168 mil, luego más de 500 mil, luego más de 900 mil. Pero entonces algo aparentemente sale mal, y la población baja a poco más de 55 mil. En la naturaleza, esto podría atribuirse a duras condiciones ambientales, un cambio drástico en el clima o una sobreexplotación del medio ambiente. Pero estos datos simplemente se generan a partir de una ecuación de diferencia, con oscilaciones inducidas al rebasar la capacidad de carga y ser derribados a diferentes lugares, una y otra vez, cada vez que la población se recupera.
| (A) | B) | C) | (D) |
|---|---|---|---|
| t | N | ∆N | ∆I |
| 0 | 11,107 | 32,828 | 2.956 |
| 1 | 43,935 | 124,082 | 2.824 |
| 2 | 168,017 | 391,133 | 2.328 |
| 3 | 559,150 | 426,855 | 0.763 |
| 4 | 986,005 | -930,810 | -0.944 |
| 5 | 55,195 | 153,401 | 2.779 |
| 6 | 208,596 | 451,738 | 2.166 |
| 7 | 660,334 | 236,838 | 0.359 |
| 8 | 897,172 | -528,155 | -0.589 |
| 9 | 369,017 | 562,357 | 1.524 |
| 10 | 931,374 | -675,708 | -0.725 |
| 11 | 255,666 | 505,537 | 1.977 |
| 12 | 761,203 | -34,111 | -0.045 |
| 13 | 727,092 | 66,624 | 0.092 |
| 14 | 793,716 | -138,792 | -0.175 |
| 15 | 654,924 | 249,071 | 0.380 |
| 16 | 903,995 | -556,842 | -0.616 |
| 17 | 347,153 | 559,398 | 1.611 |
| 18 | 906,551 | -567,685 | -0.626 |
| 19 | 338,866 | 557,277 | 1.645 |
| 20 | 896,143 |
El crecimiento repetido y los contratiempos son visibles en la gráfica fenomenológica del crecimiento poblacional (Figura\(\PageIndex{1}\), Parte A). Es fácil ver aquí que la población crece desde niveles bajos hasta el año 4, disminuye drásticamente en el año 5, luego vuelve a subir y oscila ampliamente en los años 8 a 12. Los siguientes cuatro años muestran oscilaciones más pequeñas, y en los años 16 al 20 hay dos conjuntos de oscilaciones casi idénticas.
La siguiente gráfica fenomenológica, la Parte B, no muestra la población a lo largo del tiempo sino el cambio en la población a lo largo del tiempo. La diferencia en el tamaño de la población desde el primer año hasta el año siguiente es de aproximadamente ∆N = 33,000 (44,000 − 11,000 = 33,000). De igual manera, la diferencia en el tiempo entre los años 1 y 2 es de apenas t = 2−1 = 1. Por lo tanto, ∆N /∆t es de aproximadamente 33,000/1, o en unidades de la gráfica, 0.033 millones. Por lo tanto, el año 0 está marcado en la gráfica verticalmente en 0.033. Revise el Capítulo 5 para saber por qué se usa aquí en lugar de dN.
Para el segundo año, la población crece de cerca de 44,000 a alrededor de 168,000, por lo que ∆N /∆t = (168,000−44,000) /1 = 124,000, o 0.124 millones. Por lo tanto, el año 1 está marcado en la gráfica verticalmente en 0.124. Esto continúa para todos los años, con los resultados exactos calculados en la columna ∆N de la Tabla\(\PageIndex{1}\) y trazados en la Parte B de la Figura\(\PageIndex{1}\). Estos datos siguen siendo fenomenológicos, y simplemente muestran los cambios anuales en los niveles de población en lugar de los propios niveles de población.
En la Parte C agregamos un poco de biología, mostrando cuántas crías netas producen anualmente cada individuo en la población. Esto es ∆N/∆t = 33,000/1, el número de nuevas crías netas, dividido por alrededor de 11,000 insectos parentales, alrededor de tres crías netas por insecto (más exactamente, como se muestra en la tabla, 2.956). Esto puede significar que tres nuevos insectos emergen y el padre vive, o que cuatro emergen y el padre muere, el modelo abstrae esos detalles como funcionalmente equivalentes. Todas esas tasas de crecimiento por insecto (per cápita) se calculan en la columna ∆I de la Tabla\(\PageIndex{1}\) y se grafican en la Parte C de la Figura La\(\PageIndex{1}\) Parte C muestra un poco de información biológica: cómo el número neto de crías por insecto está cambiando a lo largo del tiempo, Durante los primeros cuatro años cae de casi 3 a casi −1. Nuevamente, esto podría significar que 3 nuevas crías emergen y sobreviven en el año 0 y que el padre sobrevive también, y que para el año 4 casi ninguna descendencia sobrevive y el padre muere también. El menor cambio por insecto (per cápita) puede ser jamás es −1, porque eso significa que el individuo no produce descendencia y muere él mismo, el peor de los casos posibles. Y como en este caso r = 3, lo mayor que puede ser el cambio por insecto es 3— se dio cuenta más de cerca cuando N está muy cerca de 0. Al final, sin embargo, incluso con este toque de biología agregado a la gráfica, la Parte C todavía oscila salvajemente.
El orden subyacente al caos finalmente se revela en la Parte D al retener la biología con crecimiento per cápita en el eje vertical, pero agregando ecología con densidad N en el eje horizontal. Los años sucesivos se numeran en rojo por encima del punto correspondiente. ¡De pronto, todos los puntos caen en línea recta!
Esta línea revela la ecuación de crecimiento subyacente. Recuerde que la tasa de crecimiento se representa como r + sN, que es una línea recta. Es equivalente a la forma algebraica y = mx + b, solo reescrita con s en lugar de m, N en lugar de x, y r en lugar de b. Recuerde también que se trata de una “aproximación de primer orden” a la forma general propuesta por G. Evelyn Hutchenson,
\[r +sN +s^2N_2 +s^3N_3 + ...,\]
utilizable cuando los parámetros s 2, s 3, y así sucesivamente son pequeños, de modo que una línea recta es una buena aproximación. Y por último, recordemos que en términos de crecimiento de la población humana, para lo cual tenemos datos razonablemente buenos, una línea recta es efectivamente una buena aproximación (Figura 6.3.1).
La Parte D de la Figura expone\(\PageIndex{1}\) así estas dinámicas poblacionales como crecimiento de densidad limitada, debido a que la tasa de crecimiento individual en el eje vertical, 1/ N dN/ dt, se hace más pequeña a medida que la densidad en el eje horizontal, N, se hace mayor. Y porque es una línea recta, es crecimiento logístico. Pero es diferente en que los pasos de tiempo finitos permiten a la población ir por encima de su capacidad de carga, forzando su tasa de crecimiento negativa y tirando a la población de nuevo hacia abajo en el siguiente paso de tiempo, con lo cual la tasa de crecimiento vuelve a ser positiva y es empujada nuevamente hacia arriba en una confusa cascada de caos.