12.4: Espacio de Fase

El ciclo se puede entender mejor en el espacio de fase, donde las densidades de las dos especies se representan como puntos bidimensionales.

Figura\(\PageIndex{1}\). Espacio de fase depredador-presa. El círculo marca un equilibrio donde se detiene el crecimiento tanto del depredador como de la presa. El signo más marca un valor poblacional de N ₁ = 1.5, N ₂ = 0.5.

Por ejemplo, como se explica en el Capítulo 10, si la población de presas es 1.5 y la población depredadora es 0.5, la población será 1.5 unidades a la derecha en el eje horizontal y 0.5 unidades arriba sobre el eje vertical, en la ubicación del signo más azul en la gráfica.

¿Dónde deja de crecer la población depredadora? En la ecuación

\[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\]

deja de crecer donde\(0\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\), o\(N_1\,=\frac{-r_2}{s_{2,1}}\). Con\(r_2\) = −0.5 y\(s_{2,1}\) = 0.5, esta es una línea vertical —la isoclina depredadora— en N ₁ = 1, como en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\). La isoclina depredadora, en la que la población depredadora deja de crecer.

A la izquierda de la isoclina, las presas son escasas y los depredadores disminuyen, como lo indican las flechas descendentes. A la derecha de la isoclina, en contraste, las presas son abundantes y los depredadores pueden aumentar, como lo indican las flechas ascendentes.

De igual manera, ¿dónde deja de crecer la población de presas? En la ecuación

\[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\]

deja de crecer donde 0 =\(r_1\,+\,s_{1,2}N_2\), lo que significa\(N_2\,=\,\frac{-r_1}{s_{1,2}}\). Con\(r_1\) = 1 y\(s_{1,2}\) = −1, esta es una línea horizontal —la isoclina presa— en N ₂ = 1.

Figura\(\PageIndex{3}\). La presa isoclina, en la que la población presa deja de crecer.

Por debajo de la isoclina, los depredadores son escasos por lo que las presas pueden aumentar, como lo indican las flechas que apuntan a la derecha. Por encima de la isoclina, en contraste, los depredadores son abundantes y la presa disminuye, como lo indican las flechas que apuntan a la izquierda. Poner Figuras\(\PageIndex{2}\) y\(\PageIndex{3}\) juntas da Figura\(\PageIndex{4}\), que muestra la rotación en las flechas combinadas.

Figura\(\PageIndex{4}\). Ambas isoclinas, con ambos conjuntos de flechas combinadas, mostrando el ciclismo.

Aquí la rotación se puede deducir pensando en la dinámica de depredador y presa. La rotación se corrobora utilizando la Tabla 10.2.1 para calcular los valores propios. Los valores propios del equilibrio interior resultan ser 0±0.707\(i\), un número con partes tanto reales como imaginarias. La existencia de una parte imaginaria, ±0.707\(i\), implica el ciclismo. La parte real, 0, significa que los valores propios por sí solos no pueden determinar la estabilidad, podrían ser estables, inestables o neutros. De hecho, para este caso particular sin autolimitación, un examen matemático más profundo muestra que la estabilidad es neutra. La dinámica rotará indefinidamente, manteniendo cualquier ciclo en el que inició.

Figura 12.3.2.

Tomando todos los datos de la Figura 12.3.2 y graficando N ₁ versus N ₂ da Figura\(\PageIndex{5}\). El proceso inicia en el día 0 con N ₁ = N ₂ = 2. Un día después, las presas han caído a N ₁ ≈ 0.5 y los depredadores han aumentado a N ₂ ≈ 2.2, marcados por el número rojo 1 en el ciclo. (Por el símbolo '≈', queremos decir “aproximadamente igual a”.) Dos días después, las presas han caído a N ₁ ≈ 0.2 y los depredadores han bajado a N ₂ ≈ 1.0, marcado por el numeral 3. Con los depredadores en niveles relativamente bajos, las presas comienzan a aumentar y, cuatro días después, han alcanzado N ₁ ≈ 1.0, mientras que los depredadores han bajado más a N ₂ ≈ 0.3, marcado por el numeral 7. Dos días después, las presas han aumentado a N ₁ ≈ 3.0 y los depredadores han aumentado a N ₂ ≈ 1.0, marcado por el número 9. Por último, un día después el ciclo comienza a repetirse, como se marca con el numeral 10. Esta es otra forma de mostrar el ciclismo de la Figura 12.3.2.

Figura\(\PageIndex{6}\). El flujo a través del espacio de fase.

En la Figura\(\PageIndex{6}\) —un diagrama de flujo, todo el espacio de fase se puede llenar con flechas para mostrar cómo avanza el ciclismo en todas partes. La trayectoria de la Figura 12.3.2, mostrada en la Figura\(\PageIndex{5}\), está superpuesta en azul.