Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

4.3: Crecimiento limitado por densidad

  • Page ID
    53145
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    ¿Y fuera del rango del modelo ortólogo? Piense en los mismos Susans de ojos negros, no sólo lo suficientemente cerca como para que los polinizadores puedan flotar fluidamente de uno a otro, sino también abarrotados para que comiencen a sombrearse unos a otros, y sus raíces comiencen a competir por el agua y los nutrientes. ¿Cuál es un modelo adecuado para esto?

    La tasa de crecimiento volverá a depender del número de plantas, pero ahora más plantas reducirán la tasa de crecimiento. Eso solo significa un signo menos en s.

    \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r\,+\,sN\), s <0

    Nuevamente, r es el número de crías que cada una producirá si está sola en el mundo, pero con s negativo, s es el número que cada planta no podrá producir por cada planta adicional que aparezca en sus proximidades.

    Supongamos que tenemos r = 1 y s = −1/1000, y comenzamos con tres plantas, entonces N (0) = 3. Aquí está el código, con los nuevos negativos s en rojo.

    r=1; s=-0.001; dt=1; t=0; N=3; print (N);

    mientras que (t<=20)

    {dN = (R+s*n) *n*dt; n=n+dn; t=t+dt; print (N);}

    Ahora, debido a que s es negativo, la tasa de crecimiento\(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\) bajará a medida que aumente la población, por lo que podría suponer que la tasa eventualmente llegará a cero y la población se nivelará. De hecho, se nivela a 1000.

    Figura Crecimiento\(\PageIndex{1}\) logístico (verde) contrastado con crecimiento ortólogo (rojo) y crecimiento exponencial (azul).

    El valor al que se nivela se denomina “equilibrio”, un valor en el que el sistema dinámico se vuelve quiescente y deja de cambiar. En el caso de la ecuación logística, también se le llama la “capacidad de carga”, nivel en el que el entorno no puede “llevar” a una población mayor.

    Pero ¿por qué 1000? ¿Qué valor de\(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\) hará que la población se nivele? Cuando ∆N es 0, eso significa que “el cambio en N es cero”. Y eso significa que N deja de crecer. Y cuando ∆N es cero, todo el término a la izquierda es cero y el álgebra procede de la siguiente manera.

    \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\,=\,r\,+\,sN\)

    \(0\,=\,r\,+\,sN\)

    \(-sN\,=\,r\)

    \(N\,=\frac{-r}{s}\)

    Entonces la capacidad de carga es −r/s. En la Figura 4.3, −r/s = −1/ (−0.001) = 1000. ¡Exactamente donde terminó!

    Esta es la célebre “ecuación logística”, publicada en 1838 por Pierre Verhulst. Comúnmente se escribe

    \(\frac{∆N}{∆t}\,=\,rN(1\,-\frac{N}{K})\)

    Observe que cuando N es igual a K, el factor entre paréntesis a la derecha se convierte en 1 − N/N = 1−1 = 0, por lo que todo el término de crecimiento ∆N /∆t se convierte en cero y la población deja de crecer. Así K es capacidad de carga, y por lo tanto K = −r/s.

    Como ejercicio, es posible que desee sustituir −r/s por K en la ecuación anterior, luego simplificar y ver si obtiene la formulación r + sN.


    This page titled 4.3: Crecimiento limitado por densidad is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Clarence Lehman, Shelby Loberg, & Adam Clark (University of Minnesota Libraries Publishing) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.