5.5: Solución ortóloga

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Por último, seamos positivos. Esto crea una asíntota vertical y un crecimiento ortólogo. La posición en el tiempo de la asíntota vertical es la “singularidad” mencionada anteriormente. La pregunta interesante es, cuando s es positivo, ¿cuál es el tiempo de la singularidad? Es decir, ¿cuándo crecerá la población más allá de todos los límites en este modelo?

¿Qué debe pasar con el denominador para que la población crezca a valores sin límites? Tiene que acercarse cada vez más a cero, para entonces el N (t) crecerá cada vez más cerca del infinito. Entonces, para encontrar la singularidad, sólo hay que poner el denominador a cero, y luego resolver por el tiempo t. Puedes pasar por los pasos intermedios en el álgebra a continuación, o usar un solucionador de ecuaciones matemáticas en tu computadora para hacerlo por ti.

Establecer el denominador en la ecuación de 5.2 a cero conducirá a lo largo de este camino algebraico:

\(\frac{s}{r}\,=\,(\frac{s}{r}\,+\frac{1}{N_0})\,e^{-rt}\)

Multiplicar por (r/s) e ^rt, para obtener

\(e^{rt}\,=\,(\,1\,+\frac{r}{s}\frac{1}{N_0})\)

Siguiente toma logaritmos de ambos lados

\(rt\,=\,ln\,(1\,+\frac{r}{s}\frac{1}{N_0})\)

Por último, dividirlo por r para encontrar el tiempo de la singularidad.

\(t\,=\frac{1}{r}\,ln\,(1\,+\frac{r}{s}\frac{1}{N_0})\)

En la década de 1960, Heinz von Foerster escribió sobre esto en la revista Science. ^{Aunque las consecuencias que sugirió fueron mortíferamente graves, su trabajo no fue tomado muy en serio en su momento, quizás en parte porque el tiempo estaba tan lejano (sobre una vida humana), pero quizás también porque puso la fecha de la singularidad el viernes 13, 2026, su 115 ^º} cumpleaños. En el título de su ponencia llamó a este “día del juicio final”, cuando la población humana se habría demolido a sí misma.

Von Foerster utilizó un modelo más complicado que el modelo r + sN que estamos usando, pero condujo al mismo resultado. Algunas de las ideas fueron recogidas por Paul Ehrlich y otros, y se convirtieron en el concepto de finales de la década de 1960 de la “bomba poblacional” —que fue tomada en serio por muchos.