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15.8: Aplicación a un brote real

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    52783
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    Un ominoso brote de ébola en África Occidental se hizo ampliamente conocido en 2014, con la tasa de muertes duplicándose y redoblándose repetidamente. Para el otoño de ese año empezaron a aparecer casos en otros continentes.

    Al parecer, el ébola ingresa a las poblaciones humanas de animales salvajes como los murciélagos, en los que no es particularmente virulento. No se ha adaptado, sin embargo, al cuerpo humano. Se convierte en una enfermedad tan temible en los humanos porque explota casi todos los portales de salida del cuerpo, no simplemente encontrando pasajes limitados a través de ellos, sino destruyéndolos por completo. Algunas enfermedades pueden inducir vómitos o diarrea, por ejemplo, como medio para que el patógeno salga del canal alimentario, pero con el ébola, se destruyen sistemas tisulares enteros y trozos de intestino acompañan a la salida.

    En el momento del brote, dos de nosotros (CL, SW) impartimos conjuntamente cursos en Estados Unidos en ecología cuantitativa y en ecología de enfermedades, utilizando herramientas ilustradas hasta el momento en este libro. Un nivel de miedo prevaleció en el país porque la enfermedad acababa de llegar a Estados Unidos, con algunas muertes en hospitales estadounidenses. Junto con nuestros estudiantes, decidimos hacer del ébola un estudio de caso para la aplicación de las ecuaciones de la enfermedad, aplicando los principios semana a semana a medida que avanzaba el brote. Cientos de miles de muertes habían sido pronosticadas por organizaciones de salud. En esta sección se describe lo que hicimos y lo que descubrimos.

    Datos en tiempo real. Los datos de la Organización Mundial de la Salud (OMS) y otras fuentes oficiales habían sido tabulados en un sitio web sobre el ébola en África Occidental, y allí se puede seleccionar una fecha para ver exactamente qué datos estaban disponibles cuando comenzamos a rastrear el brote, o en cualquier momento posterior. El sitio enumeraba tanto el número de individuos infectados con ébola como el número de fallecidos, pero en los primeros días del brote adivinamos que el número de muertes sería más confiable. Además, el mundo estaba prestando mayor atención a las muertes, por lo que planteamos la hipótesis de que estos números influirían más fuertemente en los esfuerzos sociales para combatir la enfermedad.

    Muertes por Ébola reported.JPG
    Figura\(\PageIndex{1}\). Las muertes por ébola reportadas en el momento en que el ébola comenzó a aparecer fuera de África.

    Así comenzamos con muertes totales, trazándolas como en la Figura\(\PageIndex{1}\). El número de muertes no sólo iba en aumento sino acelerándose, aparentemente en un curso exponencial. El tiempo de duplicación calculado fue de 31.5 días, no exactamente lo que los Centros para el Control de Enfermedades (CDC) de Estados Unidos habían encontrado antes, sino dentro de una correspondencia razonable. Estimaron que se duplicarían entre 15 y 20 días en un país y entre 30 y 40 en otro (Meltzer et al., 2014).

    muertes por ébola extended.JPG
    Figura\(\PageIndex{2}\). Las muertes por ébola se extendieron según tiempos duplicados vistos al principio del brote.

    El cálculo a partir de estos tiempos de duplicación y la extensión por varios meses más da como resultado el número de muertes que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Antes de cinco meses con las estimaciones que hicimos durante la clase (curva azul en la figura) y antes de los tres meses con las estimaciones anteriores (curva roja), se predijo que el número de muertes superaría las 100 mil.

    Pero hay una falla en este enfoque. Como muestran los cálculos sobre bacterias y los cálculos de Darwin sobre elefantes (Capítulo 3), los modelos de crecimiento exponencial no pueden extenderse muy lejos. Pueden ser bastante precisos un número limitado de unidades de tiempo en el futuro. Pero cuando se aplican a poblaciones biológicas, los modelos exponenciales y ortólogos fallan inevitablemente cuando se extienden indefinidamente. En realidad, una opinión es que realmente no fallan, solo advierten que algún otro modelo de crecimiento los suplantará antes de que las poblaciones crezcan demasiado.

    Mesa\(\PageIndex{1}\). Consecuencias de la duplicación ilimitada en las muertes por ébola.
    Días Años Total de Muertes
    0 0.00 892
    100 0.27 8,412
    200 0.55 79,335
    300 0.82 74,8267
    400 1.10 7,057,440
    500 1.37 66,563,800
    600 1.64 627,811,000
    700 1.92 5,921,330,000
    710 1.94 7,411,030,000

    De hecho, asumir las duplicaciones desenfrenadas del crecimiento exponencial equivale a asumir que una enfermedad matará al mundo entero, siendo la única pregunta cuándo. En el cuadro se\(\PageIndex{1}\) muestran los resultados de duplicación a la velocidad ilustrada por la curva azul en la Figura\(\PageIndex{2}\), extendida más lejos. ¡A este ritmo toda la población humana se extinguiría en menos de dos años!

    Moderación esperada. Por supuesto, toda la población humana no será extinguida por una enfermedad manejable. Se pondrían medidas draconianas mucho antes: aislar a los infectados, cerrar fronteras y más. En efecto, la tasa de crecimiento\(r\) será moderada por una fuerte presión social negativa, término\(s\).

    ¿Cuándo aparecería esa presión negativa en los datos? ¿Se pudo ver temprano en el brote de ébola, cuando nosotros y los estudiantes comenzamos a ver? Debido a que la ecuación básica de la enfermedad es equivalente al\(rsN\) modelo, pensamos que podrían aparecer tendencias tempranas si examinamos los datos en términos de\(r\) y\(s\). La tasa de crecimiento individual en muertes\((1/N)dN/dt\),, podría examinarse y trazarse contra el número total de muertes,\(N\). Esta es Figura\(\PageIndex{3}\), con los mismos datos que Figura\(\PageIndex{1}\), recién reformulada.

    cambio individual en la muerte rate.JPG
    Figura\(\PageIndex{3}\). Los datos de la Figura\(\PageIndex{1}\) se convirtieron a cambio individual en la tasa de mortalidad en función del número de muertes.

    Los datos muestran bastante ruido, pero con una clara tendencia a la baja, con la tasa en el número total de nuevas muertes disminuyendo a medida que aumentan las muertes. Tanto los rangos superior como inferior de puntos son decrecientes (líneas grises). La línea verde a través de los promedios (línea de regresión de mínimos cuadrados, sólida, con\(r\) y\(s\) como se muestra en la figura) proyecta hacia adelante (discontinua) a cerca de 12 mil muertes antes de que el brote terminara, una extensa tragedia humana, pero muy por debajo de las proyecciones directas de la Figura\(\PageIndex{2}\).

    Si esta disminución en la tasa de mortalidad era real, probablemente se estaba desarrollando a partir de cada vez más atención a la moderación de la enfermedad: trabajadores médicos expandiendo hospitales, poblaciones practicando entierros más cuidadosos, gobiernos advirtieron solo viajes justificados, y similares. Cuando hicimos la proyección de 12 mil en el otoño de 2014, no teníamos certeza de lo que sucedería; simplemente estábamos mirando los datos, que mostraban un crecimiento exponencial no desenfrenado, sino moderando el crecimiento.

    El siguiente paso fue tapar el\(r\) y\(s\) derivado de la curva ajustada y proyectar hacia adelante seis meses o un año. Esta proyección se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). La curva verde es la proyección desde\(r\,=\,0.028\) y\(s\,=\,−0.0024\). Es marcadamente diferente a las otras dos curvas, nivelándose temprano y llegando a cerca de 12 mil muertes. También en la figura hay tres puntos adicionales de datos reales, en amarillo, no lo suficientemente avanzados para decir cuál de las tres curvas —roja, verde o azul— será la real.

    muertes por ébola projected.JPG
    Figura\(\PageIndex{4}\). Muertes por ébola proyectadas por la Ecuación 5.2 utilizando parámetros de la\(\PageIndex{3}\) Figura

    En solo unas semanas, sin embargo, se hizo evidente que la\(r+sN\) curva era la más precisa. Al final del semestre de invierno (alrededor del día 140 en las gráficas) quedó claro que el brote estaba bajo control, y que el número de muertes estaba bastante cerca de nuestra proyección inicial. Después de rastrear el brote con nuestros alumnos a través de los semestres de invierno y primavera, pudimos ver lo notable que fue esa proyección temprana (Figura\(\PageIndex{5}\)). Leer los datos cuidadosamente al principio de la crisis dio una proyección precisa del resultado, ¡desde un modelo simple en verdad!

    Tiempos de duplicación. Este ejemplo nos proporciona un buen lugar para reconsiderar tiempos de duplicación, introducidos con crecimiento exponencial. Recordemos que el crecimiento exponencial es la línea divisoria infinitamente delgada entre el crecimiento logístico y el ortólogo, y tiene la propiedad de un “tiempo de duplicación” fijo. En otras palabras, hay un intervalo de tiempo específico, llamarlo tau (\(\tau\)), durante el cual la población se duplica exactamente. En el crecimiento logístico el tiempo de duplicación disminuye constantemente, mientras que en el crecimiento ortólogo aumenta constantemente. Anteriormente se muestra que el tiempo de duplicación es el logaritmo natural de 2 dividido por r—\((ln2)/r\), o aproximadamente\(0.693/r\). Esto es en años si\(r\) se mide por año, días si por día, y así sucesivamente.

    Así, el tiempo de duplicación para la curva exponencial de la Figura\(\PageIndex{1}\), con\(r\,=\,0.022\), es\(0.693/0.022\,=\,31.5\) días. El crecimiento logístico de la Figura no\(\PageIndex{3}\) tiene un tiempo fijo de duplicación. No obstante, en todo momento habrá un “tiempo de duplicación instantáneo”, que se mantendrá aproximadamente por poco tiempo. En particular, cerca del comienzo mismo del brote —cuando\(N\) está cerca de 0— la tasa de crecimiento es\(r+sN\,=\,r+s\,\cdot\,0\,=\,r\). Para los datos del Ébola temprano en el brote, encontramos\(r\,=\,0.028\) y\(s\,=\,0.0024\). El tiempo de duplicación del ébola, promediado sobre los países en los que se propagó, por lo tanto comenzó en\(0.693/r\,=\,0.693/0.028\,=\,25\) días. Esto está de acuerdo con estimaciones tempranas hechas por las organizaciones de salud.

    Cuando comenzamos a seguir el brote, se habían producido alrededor de 4.5 mil muertes, lo que significa que la tasa de crecimiento era\(r+sN\,=\,0.028−0.0024\,\cdot\,4.5\,=\,0.0172\), y el tiempo de duplicación era\(0.693/0.0172\,=\,40\) días.

    El tiempo de duplicación continuó disminuyendo hasta que se conquistó el brote y cesaron todas las muertes por ébola.

    Actual development.JPG
    Figura\(\PageIndex{5}\). Desarrollo real del brote (puntos amarillos), cayendo a lo largo de la proyección de octubre de 2014 (curva verde).

    Asalvedades y consideraciones. Hubo cierta fortuidad en el momento de nuestra proyección inicial. Poco después de comenzar la tasa de mortalidad bajó, posiblemente debido al aumento de los esfuerzos luego de una intensa atención mundial. Si hubiéramos hecho la proyección unas semanas después habríamos visto dos pendientes y hubiéramos tenido que adivinar cuál prevalecería. Resulta que prevaleció la primera pendiente, regresando unos 40 días después de nuestra proyección inicial. Pero no teníamos forma de saber esto a partir de los datos en ese momento.

    Nuestro enfoque también podría ser criticado porque la\(r+sN\) ecuación que utilizamos es un híbrido, una ecuación única que intenta representar dos cosas diferentes, en este caso infecciones y muertes. Aquí es razonable basar los parámetros de mejora s en el número total de muertes, ya que las muertes fueron el parámetro de preocupación mundial. Las muertes influyen en la atención social a la enfermedad y los esfuerzos para controlarla. No obstante, ¿qué sentido tiene decir que las muertes crecen a ritmo\(r\), con base en el número total de muertes hasta el momento? El ébola puede transmitirse a otros poco después de la muerte, pero en general las muertes no causan nuevas muertes. Las infecciones provocan nuevas infecciones, que a su vez provocan nuevas muertes. Si\(N\) representa muertes totales, parece que las ecuaciones también deberían tener un\(I\) para representar infecciones, y alguna fracción de infecciones debería dar como resultado muertes, como en este sistema bidimensional de ecuaciones.

    \[\frac{dI}{dt}\,=\,\beta\,I\,-\,\gamma\,I\,-\,\alpha\,I\,-\,sNI\]

    \[\frac{dN}{dt}\,=\,\alpha\,I\]

    Las dos dimensiones son\(I\), el número de infecciones existentes y\(N\), el número acumulado de muertes. La infectividad es\(\beta\), la tasa de recuperación de la infección es\(\gamma\), y la tasa de muerte por la enfermedad es\(\alpha\). Estos corresponden a la notación de la Figura 15.2.1. Además, el término\(sN\) modera el crecimiento de la infección al representar todas las precauciones e infraestructura implementadas contra la enfermedad a medida que aumentó el número de muertes.

    No se necesita ningún factor como\(1−v−p\), que representa la fracción de individuos susceptibles, para multiplicar el\(\beta\) término aquí, porque tanto en la etapa temprana como en el brote la prevalencia fue baja y no hubo vacuna, por lo que casi todos fueron susceptibles. Y con esta enfermedad que progresaba rápidamente la población se mantuvo casi constante, por lo que los nacimientos podrían considerarse insignificantes. Por lo tanto, la ecuación sigue siendo una ecuación simplificada.

    Por más simplificada que sea, sin embargo, Ecuación lleva más parámetros de los que pueden percibirse en los datos brutos. La tasa de mortalidad por la enfermedad\(\alpha\), la tasa de recuperación\(\gamma\), la infectividad\(\beta\), e incluso el número de infecciones\(I\), sólo se pueden descubrir mediante el uso de programas especiales de investigación. Pero incluso al comienzo de un brote, e incluso para una enfermedad poco entendida, puede haber suficientes datos para determinar el tiempo de duplicación de las muertes por la enfermedad, y cómo está variando el tiempo de duplicación, datos suficientes para determinar\(r\) y\(s\), aunque poco más.

    Esto es afortunado, porque la Ecuación puede reducirse en dimensión y aproximarse por la\(r+sN\) forma. Sin el término de mejora\(sNI\), las dos dimensiones son independientes y el crecimiento de cada una es exponencial,\(N\) siendo la integral de\(I\). Debido a que la integral de un exponencial sigue siendo exponencial, las dos pueden aproximarse mediante una sola ecuación de una dimensión menos, con el término de mejora\(sNI\) restablecido. De esta manera, las muertes totales se convierten en un sustituto legítimo de infecciones en brotes de baja prevalencia, como en el presente ejemplo de ébola.

    Y como señalamos, esto dio una proyección precisa sobre el curso de una enfermedad temible, ¡desde un modelo muy sencillo en verdad!


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