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16.6: Espacio de fase de un solo recurso

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    53300
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Algunos aspectos de la competencia por un recurso se aclaran al observar el espacio de fases, tal como se introduce en el Capítulo 10. Combinando las Ecuaciones 16.3.1 y 16.3.2 da como punto de partida lo siguiente:

    \[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,m_1(R_{max}\,-\,R_1^{\ast})\,-\,u_1m_1N_1\,-\,u_2m_2N_2\]

    \[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,m_2(R_{max}\,-\,R_2^{\ast})\,-\,u_2m_2N_2\,-\,u_1m_1N_1\]

    Como antes,\(m_i\) es la tasa de crecimiento de las Especies\(i\) para cada nivel de recurso por encima de su requerimiento mínimo de recursos\(R_i^{\ast}\), y\(u_i\) es la cantidad de recurso atada en cada individuo de Especies\(i\). Para referencia, aquí está la asignación de parámetros en términos de\(r_i\) y\(s_{i,j}\).

    \[r_1\,=\,m_1(R_{max}\,−\,R_1^{\ast}),\,\,\,s_{1,1}\,=\,−u_1m_1,\,\,\,s_{1,2}\,=\,−u_2m_2\]

    \[r_2\,=\,m_2(R_{max}\,−\,R_2^{\ast}),\,\,\,s_{2,1}\,=\,−u_1m_1,\,\,\,s_{2,2}\,=\,−u_2m_2\]

    ¿Dónde en el espacio de fases la tasa de crecimiento será 0 para cada especie? Para la Especie 1 será donde

    \(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,0\,=\,r_1\,+\,s_{1,1}N_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

    Resolviendo para\(N_2\) da

    \[N_2\,=\,−\frac{r_1}{s_{1,2}}\,-\frac{s_{1,1}}{s_{1,2}}N_1\,\,\,\,\,\leftarrow\,Species\,1\,isocline\]

    Especies 1 increase.JPG

    Figura\(\PageIndex{1}\). La especie 1 aumenta por debajo de su isoclina, sombreada con copias grises del número 1.

    En cualquier parte de esa línea, la población de la Especie 1 no cambiará, pero a ambos lados de la línea lo hará (Figura\(\PageIndex{1}\)). Las fórmulas para los cuatro equilibrios posibles y su estabilidad se encuentran en el Cuadro 10.1. La intercepción vertical de la isoclina, dónde\(N_1\,=\,0\), es\(-r_1/s_{1,2}\), y la intercepción horizontal, donde\(N_2\,=\,0\), es\(-r_1/s_{1,1}\). La pendiente es\(-s_{1,1}/s_{1,2})\,=\,(u_1m_1)/(u_2m_2)\).

    De igual manera, el crecimiento de la Especie 2 será 0 donde

    \(\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,0\,=\,r_2\,+\,s_{2,2}N_2\,+\,s_{2,1}N_1\)

    Especies 2 increase.JPG
    Figura\(\PageIndex{2}\). La especie 2 aumenta por debajo de su isoclina, sombreada con copias grises del número 2.

    Resolviendo para\(N_2\) da

    \[N_2\,=\,-\frac{r_2}{s_{2,2}}\,-\frac{s_{2,1}}{s_{2,2}}N_1\,\,\,\,\,\,\leftarrow\,Species\,2\,isocline\]

    Nuevamente, en cualquier lugar a lo largo de esa línea la población de la Especie 2 no cambiará, pero a ambos lados de la línea lo hará (Figura\(\PageIndex{2}\)). La intercepción vertical de esa línea, donde\(N_1\,=\,0\), es\(-r_2/s_{2,2}\), la intercepción horizontal, donde\(N_2\,=\,0\), es -\(r_2/s_{2,1}\), y la pendiente es\(-s_{2,1}/s_{2,2}\,=\,(u_1m_1)/(u_2m_2)\).

    Paralelo isoclines.JPG
    Figura\(\PageIndex{3}\). Isoclinas paralelas de especie única. Cada especie aumenta solo por debajo de su respectiva isoclina, sombreada con gris con el número de especies, 1 o 2.

    Observe esto: En términos del recurso, la pendiente de la isoclina para la Especie 2 es idéntica a la pendiente para la Especie 1—ambas son iguales a (\(u_1m_1)/(u_2m_2\)). ¿Qué significa esto? Significa que las dos isoclinas son paralelas. Y eso, a su vez, significa que las dos especies no pueden convivir permanentemente.

    Las poblaciones pueden caer en una sola de las tres regiones de la Figura\(\PageIndex{3}\). Si inician en la región superior, disminuyen hasta que ingresan a la región media. Si inician en la región baja, aumentan hasta que también ingresan a la región media. Una vez en la región media, solo la Especie 2 aumenta. Eso significa que la población de la Especie 1 es conducida hacia la izquierda, hacia valores más bajos de\(N_1\), mientras que la población de la Especie 2 se impulsa hacia arriba, hacia valores más altos de\(N_2\).

    flujo a través de la fase space.JPG
    Figura\(\PageIndex{4}\). Flujo a través del espacio de fase, como se explica en el Capítulo 10, convergiendo en un equilibrio estable donde la Especie 2 excluye a la Especie 1. \((r_1\,=\,0.75,\,r_2\,=\,0.52,\,s_{12}\,=\,−1.875,\,s_{21}\,=\,−0.533,\,s_{11}=s_{22}=−1)\).

    Estas dinámicas aparecen en el diagrama de flujo de la Figura\(\PageIndex{4}\). El origen (0,0) es un equilibrio inestable. En este sistema de un solo recurso, cualquier población cercana a la extinción, pero no completamente extinguida, aumenta hasta llegar a la región media. El eje horizontal tiene otro equilibrio inestable, donde la Especie 1 está en su capacidad de carga y la Especie 2 se extingue\((−r_1/s_{1,1},\) 0). Cualquier población cercana a ese equilibrio inestable pronto llega a la región media. Todas las poblaciones no precisamente en uno de esos dos equilibrios inestables convergen en el disco rojo en el eje vertical, donde la Especie 2 está en su capacidad de carga,\(K_2\,=\,−r_2/s_{2,2}\), y la Especie 1 está extinta (0,\(−r_2/s_{2,2}\)). Este equilibrio se llama un “atractor global”.

    Los espacios de fase proporcionan así otra visión de la exclusión competitiva, cuya teoría se aplica al menos a dos especies que compiten por un solo recurso en equilibrio.


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