Saltar al contenido principal

# 2.2: Prueba Estadística Estándar de Hipótesis

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Los enfoques estándar de prueba de hipótesis se centran casi por completo en rechazar hipótesis nulas. En el marco (generalmente conocido como el enfoque frecuentista de la estadística) se define primero una hipótesis nula. Esta hipótesis nula representa tu expectativa si algún patrón, como una diferencia entre grupos, no está presente, o si algún proceso de interés no se estaba produciendo. Por ejemplo, quizás te interese comparar el tamaño corporal medio de dos especies de lagartos, un anole y un gecko. Nuestra hipótesis nula sería que las dos especies no difieran en tamaño corporal. La alternativa, que se puede concluir rechazando esa hipótesis nula, es que una especie sea más grande que la otra. Otro ejemplo podría implicar investigar dos variables, como el tamaño corporal y la longitud de las piernas, a través de un conjunto de especies de lagartos 1. Aquí la hipótesis nula sería que no existe relación entre el tamaño corporal y la longitud de la pierna. La hipótesis alternativa, que nuevamente representa la situación en la que realmente se está produciendo el fenómeno de interés, es que existe una relación con el tamaño corporal y la longitud de las piernas. Para los enfoques frecuentistas, la hipótesis alternativa es siempre la negación de la hipótesis nula; como verás a continuación, otros enfoques permiten comparar el ajuste de un conjunto de modelos sin esta restricción y elegir el mejor entre ellos.

Si el estadístico de prueba es muy diferente de lo que uno esperaría bajo la hipótesis nula, entonces el valor P será pequeño. Esto significa que es poco probable que obtengamos el estadístico de prueba visto en los datos si la hipótesis nula fuera cierta. En ese caso, rechazamos la hipótesis nula siempre y cuando P sea menor que algún valor elegido de antemano. Este valor es el umbral de significancia, α, y casi siempre se establece en α = 0.05. Por el contrario, si esa probabilidad es grande, entonces no hay nada “especial” en tus datos, al menos desde el punto de vista de tu hipótesis nula. El estadístico de prueba está dentro del rango esperado bajo la hipótesis nula, y fallamos en rechazar esa hipótesis nula. Anote el lenguaje cuidadoso aquí —en un marco frecuentista estándar, nunca aceptas la hipótesis nula, simplemente no la rechazas.

Volviendo a nuestro ejemplo de volteo de lagartos, podemos usar un enfoque frecuentista. En este caso, nuestro ejemplo particular tiene un nombre; se trata de una prueba binomial, que evalúa si un evento dado con dos resultados tiene cierta probabilidad de éxito. En este caso, nos interesa probar la hipótesis nula de que nuestro lagarto es un flipper justo; es decir, que la probabilidad de cabezas p H = 0.5. La prueba binomial utiliza el número de “éxitos” (usaremos el número de cabezas, H = 63) como estadística de prueba. Luego nos preguntamos si este estadístico de prueba es mucho mayor o mucho más pequeño de lo que podríamos esperar bajo nuestra hipótesis nula. Entonces, nuestra hipótesis nula es que p H = 0.5; nuestra alternativa, entonces, es que p H tome algún otro valor: p H ≠ 0.5.

Para llevar a cabo la prueba, primero debemos considerar cuántos “éxitos” debemos esperar si la hipótesis nula fuera cierta. Consideramos la distribución de nuestro estadístico de prueba (el número de cabezas) bajo nuestra hipótesis nula (p H = 0.5). Esta distribución es una distribución binomial (Figura 2.1).