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# 3.3: Modelos de Genética Cuantitativa Simple para Movimiento Browniano

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## Movimiento browniano bajo deriva genética

La forma más sencilla de obtener la evolución browniana de los personajes es cuando el cambio evolutivo es neutro, con rasgos que cambian solo debido a la deriva genética (e.g. Lande 1976). Para mostrar esto, crearemos un modelo sencillo. Supondremos que un personaje está influenciado por muchos genes, cada uno de pequeño efecto, y que el valor del personaje no afecta a la aptitud. Finalmente, asumimos que las mutaciones son aleatorias y tienen pequeños efectos sobre el personaje, como se especifica a continuación. Estas suposiciones probablemente parezcan poco realistas, sobre todo si estás pensando en un rasgo como el tamaño corporal de un lagarto! Pero veremos más adelante que también podemos derivar el movimiento browniano bajo otros modelos, algunos de los cuales implican selección.

Considerar el valor medio de este rasgo, $\ bar {z}$, en una población con un tamaño poblacional efectivo de N e (esta es técnicamente la varianza población efectiva) 2. Al no existir selección, el carácter fenotípico cambiará debido únicamente a mutaciones y deriva genética. Podemos modelar este proceso de varias maneras, pero la más simple usa un modelo de “alelos infinitos”. Bajo este modelo, las mutaciones ocurren aleatoriamente y tienen efectos fenotípicos aleatorios. Suponemos que las mutaciones se dibujan al azar a partir de una distribución con media 0 y varianza mutacional σ m 2. Este modelo asume que el número de alelos es tan grande que efectivamente no hay ninguna posibilidad de que ocurran mutaciones en el mismo alelo más de una vez, de ahí, “alelos infinitos”. Los alelos en la población luego cambian de frecuencia a través del tiempo debido a la deriva genética. Deriva y mutación juntos, entonces, determinan la dinámica del rasgo medio a través del tiempo.

Si simuláramos muchas veces este modelo de alelos infinitos, tendríamos un conjunto de poblaciones evolucionadas. Estas poblaciones tendrían, en promedio, el mismo valor de rasgo medio, pero diferirían entre sí. Tratemos de derivar cómo, exactamente, evolucionan estas poblaciones 3.

Si consideramos que una población evoluciona bajo este modelo, no es difícil demostrar que el fenotipo poblacional esperado después de cualquier cantidad de tiempo es igual al fenotipo inicial. Esto se debe a que los fenotipos no importan para la supervivencia o la reproducción, y se supone que las mutaciones son aleatorias y simétricas. Por lo tanto,

$E[\bar{z}(t)] = \bar{z}(0) \label{3.1}$

Tenga en cuenta que esta ecuación ya coincide con la primera propiedad del movimiento browniano.

A continuación, debemos considerar también la varianza de estos fenotipos medios, a los que llamaremos varianza fenotípica entre poblaciones (σ B 2). Es importante destacar que σ B 2 es la misma cantidad que describimos anteriormente como la “varianza” de rasgos a lo largo del tiempo, es decir, la varianza de los valores medios de los rasgos a través de muchas “corridas” independientes de cambio evolutivo durante un cierto período de tiempo.

Para calcular σ B 2, debemos considerar la variación dentro de nuestras poblaciones modelo. Debido a nuestras suposiciones simplificadoras, podemos enfocarnos únicamente en la varianza genética aditiva dentro de cada población en algún momento t, que podemos denotar como σ a 2. La varianza genética aditiva mide la cantidad total de variación genética que actúa aditivamente (es decir, las contribuciones de cada alelo se suman para predecir el fenotipo final). Esto excluye la variación genética que involucra interaciones entre alelos, como dominancia y epistasis (ver Lynch y Walsh 1998 para una discusión más detallada). La varianza genética aditiva en una población cambiará con el tiempo debido a la deriva genética (que tiende a disminuir σ a 2) y la entrada mutacional (que tiende a aumentar σ a 2). Podemos modelar el valor esperado de σ a 2 de una generación a la siguiente como (Clayton y Robertson 1955; Lande 1979, 1980):

$E[\sigma_a^2 (t+1)]=(1-\frac{1}{2 N_e})E[\sigma_a^2 (t)]+\sigma_m^2 \label{3.2}$

donde t es el tiempo transcurrido en generaciones, N e es el tamaño efectivo de la población y σ m 2 es la varianza mutacional. Hay dos partes en esta ecuación. El primero,$$(1-\frac{1}{2 N_e})E[\sigma_a^2 (t)]$$, muestra la disminución en la varianza genética aditiva de cada generación debido a la deriva genética. La tasa de disminución depende del tamaño efectivo de la población, N e, y el nivel actual de variación aditiva. La segunda parte de la ecuación describe cómo aumenta la varianza genética aditiva debido a nuevas mutaciones (σ m 2) en cada generación.

Si asumimos que conocemos el valor inicial en el tiempo 0, σ a S t a r t 2, podemos calcular la varianza genética aditiva esperada en cualquier momento t como:

$E[\sigma_a^2 (t)]={(1-\frac{1}{2 N_e})}^t [\sigma_{aStart}^2 - 2 N_e \sigma_m^2 ]+ 2 N_e \sigma_m^2 \label{3.3}$

Tenga en cuenta que el primer término en la ecuación anterior,$${(1-\frac{1}{2 N_e})}^t$$, va a cero a medida que t se vuelve grande. Esto significa que la variación genética aditiva en las poblaciones evolutivas eventualmente alcanzará un equilibrio entre la deriva genética y las nuevas mutaciones, de modo que la variación genética aditiva deja de cambiar de una generación a otra. Podemos encontrar este equilibrio tomando el límite de la Ecuación\ ref {3.3} a medida que t se vuelve grande.

$\lim_{t → ∞}E[σ_a^2(t)] = 2N_eσ_m^2 \label{3.4}$

Así, la varianza genética de equilibrio depende tanto del tamaño de la población como de la entrada mutacional.

Ahora podemos derivar la varianza fenotípica entre poblaciones en el tiempo t, σ B 2 (t). Supondremos que σ a 2 está en equilibrio y por lo tanto constante (ecuación 3.4). Los valores medios de los rasgos en poblaciones que evolucionan independientemente divergirán entre sí. Saltándose algunos cálculos, después de que haya transcurrido algún periodo de tiempo t, la varianza esperada entre la población será (desde Lande 1976):

$\sigma_B^2 (t)=\frac{t \sigma_a^2}{N_e} \label{3.5}$

Sustituyendo el valor de equilibrio de σ a 2 de la ecuación 3.4 en la ecuación 3.5 da (Lande 1979, 1980):

$\sigma_B^2 (t)=\frac{t \sigma_a^2}{N_e} = \frac{t \cdot 2 N_e \sigma_m^2}{N_e} = 2 t \sigma_m^2 \label{3.6}$

Esta ecuación establece que la variación entre dos poblaciones divergentes depende del doble del tiempo desde que han divergido y de la tasa de entrada mutacional. Obsérvese que para este modelo, la cantidad de variación entre poblaciones es independiente tanto del estado inicial de las poblaciones como de su tamaño poblacional efectivo. Este modelo predice, entonces, que las tasas de evolución a largo plazo están dominadas por el suministro de nuevas mutaciones a una población.

A pesar de que tuvimos que hacer suposiciones específicas particulares para esa derivación, Lynch y Hill (1986) muestran que la Ecuación\ ref {3.6} es un resultado general que se mantiene bajo una gama de modelos, incluso aquellos que incluyen dominio, vinculación, apareamiento no aleatorio y otros procesos. La ecuación\ ref {3.6} es algo útil, pero a menudo no podemos medir la varianza mutacional σ m 2 para ninguna población natural (pero ver Turelli 1984). Por el contrario, a veces sí conocemos la heredabilidad de un rasgo particular. La heredabilidad describe la proporción de variación fenotípica total dentro de una población (σ w 2) que se debe a efectos genéticos aditivos (σ a 2):

$h^2=\frac{\sigma_a^2}{\sigma_w^2}.$

Podemos calcular la heredabilidad del rasgo esperado para el modelo de alelos infinitos en el equilibrio mutacional. Sustituyendo la ecuación\ ref {3.4}, encontramos que:

$h^2 = \frac{2 N_e \sigma_m^2}{\sigma_w^2} \label{3.7}$

Para que:

$\sigma_m^2 = \frac{h^2 \sigma_w^2}{2 N_e} \label{3.8}$

Aquí, h 2 es heredabilidad, N e el tamaño efectivo de la población y σ w 2 la varianza fenotípica dentro de la población, que difiere de σ a 2 porque incluye todas las fuentes de variación dentro de las poblaciones, incluyendo tanto los efectos genéticos no aditivos como los efectos ambientales. Sustituyendo esta expresión por σ w 2 en la Ecuación\ ref {3.6}, tenemos:

$\sigma_B^2 (t) = 2 \sigma_m^2 t = \frac{h^2 \sigma_w^2 t}{N_e} \label{3.9}$

Entonces, después de algún intervalo de tiempo t, el fenotipo medio de una población tiene un valor esperado igual al valor inicial, y una varianza que depende positivamente del tiempo, heredabilidad y varianza de rasgos, y negativamente del tamaño efectivo de la población.

Para derivar este resultado, tuvimos que hacer suposiciones particulares sobre la normalidad de las nuevas mutaciones que podrían parecer bastante poco realistas. Cabe señalar que si los fenotipos se ven afectados por suficientes mutaciones, el teorema del límite central garantiza que la distribución de los fenotipos dentro de las poblaciones será normal, sin importar cuál sea la distribución subyacente de esas mutaciones. También tuvimos que asumir que los rasgos son neutrales, una suposición más dudosa de que nos relajamos a continuación, ¡donde también mostraremos que hay otras formas de obtener una evolución del movimiento browniano que solo deriva genética!

Obsérvese, finalmente, que este modelo genético cuantitativo predice que los rasgos evolucionarán bajo un modelo de movimiento browniano. Así, nuestro modelo genético cuantitativo tiene las mismas propiedades estadísticas del movimiento browniano. Solo necesitamos traducir un parámetro: σ 2 = h 2 σ w 2/N e 4.

## Movimiento browniano bajo selección

Hemos demostrado que es posible relacionar un modelo de movimiento browniano directamente con un modelo genético cuantitativo de deriva. De hecho, existe cierta tentación de igualar los dos, y concluir que rasgos que evolucionan como el movimiento browniano no están bajo selección. Sin embargo, esto es incorrecto. Más específicamente, una observación de que un rasgo está evolucionando como se esperaba bajo el movimiento browniano no equivale a decir que ese rasgo no está bajo selección. Esto se debe a que los personajes también pueden evolucionar como un paseo browniano aunque haya una fuerte selección, siempre y cuando la selección actúe de formas particulares que mantengan las propiedades del modelo de movimiento browniano.

En general, el camino seguido por los valores medios de los rasgos poblacionales bajo mutación, selección y deriva depende de la forma particular en que ocurren estos procesos. Una variedad de tales modelos son considerados por Hansen y Martins (1996). Identifican tres modelos muy diferentes que incluyen selección donde los rasgos medios aún evolucionan bajo un modelo aproximadamente browniano. Aquí presento versiones univariadas de los modelos de Hansen-Martins, por simplicidad; consulte el artículo original para versiones multivariadas. Tenga en cuenta que todos estos modelos requieren que la fuerza de selección sea relativamente débil, o de lo contrario la variación genética del personaje se agotará por la selección a lo largo del tiempo y la dinámica de la evolución del rasgo cambiará.

Un modelo asume que las poblaciones evolucionan debido a la selección direccional, pero la fuerza y dirección de la selección varía aleatoriamente de una generación a otra. Modelizamos la selección de cada generación como extraída de una distribución normal con media 0 y varianza σ s 2. Similar a nuestro modelo de deriva, las poblaciones volverán a evolucionar bajo el movimiento browniano. Sin embargo, en este caso los parámetros de movimiento brownianos tienen una interpretación diferente:

$\sigma_B^2=(\frac{h^2 \sigma_W^2}{N_e} +\sigma_s^2)t \label{3.10}$

En el caso particular donde la variación en la selección es mucho mayor que la variación debida a la deriva, entonces:

$σ_B^2 ≈ σ_s^2 \label{3.11}$

Es decir, cuando la selección es (en promedio) mucho más fuerte que la deriva, la tasa de evolución está completamente dominada por el término de selección. Esto no es tan descabellado, ya que muchos estudios han demostrado una selección en la naturaleza que es a la vez más fuerte que la deriva y que comúnmente cambia tanto en dirección como en magnitud de una generación a otra.

En un segundo modelo, Hansen y Martins (1996) consideran a una población sujeta a una fuerte selección estabilizadora para un valor óptimo particular, pero donde la posición del óptimo en sí cambia aleatoriamente según un proceso de movimiento browniano. En este caso, las medias poblacionales pueden describirse nuevamente por el movimiento browniano, pero ahora el parámetro de tasa refleja el movimiento del óptimo más que la acción de mutación y deriva. Específicamente, si describimos el movimiento del óptimo por un parámetro de velocidad browniano σ E 2, entonces:

$σ_B^2 ≈ σ_E^2 \label{3.12}$

Para obtener este resultado debemos asumir que hay al menos un poco de selección estabilizadora (al menos del orden de 1/ t i j donde t i j es el número de generaciones que separan pares de poblaciones; Hansen y Martins 1996).

Nuevamente en este caso, la población está bajo una fuerte selección en cualquier generación, pero los patrones de cambio de rasgos a largo plazo pueden ser descritos por el movimiento browniano. La velocidad de la caminata aleatoria está totalmente determinada por la acción de selección más que por la deriva.

El punto importante de llevar a casa de ambos modelos es que el patrón de evolución de rasgos a través del tiempo bajo este modelo todavía sigue un modelo de movimiento browniano, aunque los cambios están dominados por la selección y no por la deriva. En otras palabras, ¡la evolución del movimiento browniano no implica que los personajes no estén bajo selección!

Por último, Hansen y Martins (1996) consideran la situación en la que las poblaciones evolucionan siguiendo una tendencia. En este caso, obtenemos una evolución que es diferente al movimiento browniano, pero comparte algunos atributos clave. Considerar una población bajo selección direccional constante, s, de manera que:

$E[\bar{z}(t+1)]=\bar{z}(t) + h^2 s \label{3.13}$

La varianza entre poblaciones debido a la deriva genética después de una sola generación es entonces:

$\sigma_B^2 = \frac{h^2 \sigma_w^2}{N_e} \label{3.14}$

Durante un período de tiempo más largo, los rasgos evolucionarán de manera que han esperado un valor medio de rasgo que es normal con media:

$E[\bar{z}(t)]=t \cdot (h^2 s) \label{3.15}$

También podemos calcular la varianza entre especies como:

$\sigma_B^2(t) = \frac{h^2 \sigma_w^2 t}{N_e} \label{3.16}$

Obsérvese que la varianza de este proceso es exactamente idéntica a la varianza entre poblaciones en un modelo de deriva pura (ecuación 3.9). La selección solo cambia la expectativa para la media de la especie (por supuesto, suponemos que la variación dentro de las poblaciones y la heredabilidad son constantes, lo que solo será cierto si la selección es bastante débil). Además, con métodos comparativos, a menudo estamos considerando un conjunto de especies y sus rasgos en la actualidad, en cuyo caso todas habrán experimentado la misma cantidad de tiempo evolutivo (t) y tendrán el mismo valor de rasgo esperado. De hecho, las ecuaciones\ ref {3.14} y\ ref {3.16} son exactamente las mismas que lo que esperaríamos bajo un modelo de deriva pura en la misma población, pero comenzando con un valor de rasgo igual a$$\bar{z}(0) = t \cdot (h^2 s)$$. Es decir, desde la perspectiva de datos únicamente sobre especies vivas, estos dos modelos de deriva pura y selección lineal son estadísticamente indistinguibles. Las implicaciones de esto son llamativas: nunca podemos encontrar evidencia de tendencias en la evolución estudiando solo especies vivas (Slater et al. 2012).

En resumen, podemos describir tres formas muy diferentes en que los rasgos podrían evolucionar bajo el movimiento browniano: deriva pura, selección variable aleatoriamente y selección estabilizadora variable, y un modelo, selección direccional constante, que crea patrones entre las especies existentes que son indistinguibles de Brownian movimiento. Y hay más modelos posibles por ahí que predicen los mismos patrones. Nunca se puede distinguir estos modelos evaluando el patrón cualitativo de evolución entre especies; todos predicen el mismo patrón de evolución del movimiento browniano. Los detalles difieren, en que los modelos tienen parámetros de velocidad de movimiento brownianos que difieren entre sí y se relacionan con cantidades medibles como el tamaño de la población y la fuerza de selección. Sólo conociendo algo sobre estos parámetros podemos distinguir entre estos posibles escenarios.

Podría notar que ninguno de estos modelos “brownianos” son particularmente detallados, especialmente para modelar la evolución en escalas de tiempo largas. Incluso podrías quejarte de que estos modelos no son realistas. Es difícil imaginar un caso en el que un rasgo pueda estar influenciado solo por mutaciones aleatorias de pequeño efecto sobre muchos alelos, o donde la selección actuaría de una manera verdaderamente aleatoria de una generación a la siguiente durante millones de años. ¡Y tendrías razón! Sin embargo, el uso de modelos brownianos para análisis comparativos presenta enormes beneficios estadísticos. Muchos de los resultados derivados en este libro, por ejemplo, son simples bajo el movimiento browniano pero mucho más complejos y diferentes bajo otros modelos. Y también ocurre que algunos (pero no todos) métodos son robustos a modestas violaciones del movimiento browniano, de la misma manera que muchos análisis estadísticos estándar son robustos a variaciones menores de los supuestos de normalidad. En cualquier caso, procederemos con modelos basados en el movimiento browniano, teniendo en cuenta estas importantes advertencias.

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