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# 4.1: Crecimiento independiente de la densidad

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En el primer caso anterior, escribirías N = 4.5, el punto medio entre 3 y 6. En el segundo caso escribirías N = 15000. Debe quedar claro desde el contexto cuál es la zona.

Teniendo esto en cuenta, todas las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. La población se duplica cada hora. (Como en el ejemplo bacteriano del capítulo anterior.)
2. La población N (t) se duplica cada hora. Aquí el número de individuos está representado por la letra N, y N (t) significa población en el tiempo t. En el ejemplo bacteriano, había una bacteria al inicio del experimento cuando el reloj empezó a funcionar, por lo que escribirías N (0) = 1. Una hora después, la hipotética población se había duplicado, por lo que escribiría N (1) = 2. Duplicando sucesivamente luego da N (2) = 4, N (3) = 8, y así sucesivamente hasta después de cinco días, o 120 horas, N (120) = 10 36, o un poco más, lo suficiente para llenar todos los océanos del mundo.
3. La población N se duplica cada hora. A menudo la “(t)” se deja fuera por simplicidad, entendiéndose que la población N es una función del tiempo.
4. N se duplica cada hora. Dado que N representa una población en este caso, la palabra “población “a menudo se bajará por concisión.
5. N (t + 1) = 2 N (t). En inglés esto se leería “N de t más 1 es igual a dos veces N de t”. Eso simplemente significa que la población en algún momento, en cualquier momento, t, cuando se multiplica por 2, es la población en el siguiente paso de tiempo, t más uno.
6. El cambio en la población cada hora es igual al tamaño de la población esa hora. Esto puede sonar bastante confuso. Pero significa que la cantidad que aumenta la población en el paso del tiempo es igual en tamaño a toda la población. Por lo general el incremento es mucho menor que eso, quizás un poco por ciento, pero aquí estamos tratando con una población bacteriana que aumenta rápidamente.
7. El cambio en la población cada hora es N (t +1) menos N (t), es decir N (t +1) − N (t) = 2 N (t) − N (t) = N (t). Aquí la población en la siguiente hora, N (t +1), menos la población ahora, N (t), que es el cambio de población, es el doble de la población actual, 2 N (t), menos la población actual, N (t ) (no menos confuso, tal vez).
8. El cambio en la población cada hora, llamarlo “Delta N” o ∆N, es ∆N /∆t = 2 N (t)N (t) = N (t). Aquí el símbolo delta (δ) significa cambio en o la diferencia. Entonces, el cambio en N significa el cambio en N, y ∆t significa el cambio en t. Entonces, el cambio en N por unidad de tiempo se escribe ∆N /∆t, donde delta t es la unidad de tiempo que se está utilizando, como hora o día. Esta afirmación es, pues, la misma que la anterior, pero con símbolos para acortarla.
9. ∆N /∆t = N. Esto significa que el cambio poblacional en cada unidad de tiempo es igual al tamaño de la población misma. Eso es sólo porque la población se está duplicando cada paso de tiempo.
10. $$\frac{1}{N}\, \,frac{∆N}{∆t}\, =\,1$$Esto es simplemente dividir ambos lados de la ecuación anterior por N, y tal vez parece aún más confuso. No obstante, en lo que sigue, resulta ser el más útil de todos.

Para avanzar, centrémonos en la última ecuación, con sus partes coloreadas en el cuadro de abajo.

En la primera fila, el “∆N = 1” se refiere a un cambio en la población de un individuo, porque delta () significa cambio. En la segunda fila, el “∆t” en el denominador lo modifica al cambio en cada paso de tiempo, en este caso, cada hora. En la tercera fila, el 1/ N lo modifica drásticamente para significar el cambio en la población por individuo en la población.

Esto podría significar que un nuevo individuo nace mientras el padre vive, o que nacen dos nuevos individuos y el padre muere, o que el padre se divide en dos, u otros eventos equivalentes. En este modelo, estos detalles son abstracciones que no importan con el propósito de proyectar la población. El modelo simplemente registra el número de crías producidas por cada miembro de la población y que sobreviven para reproducirse. Al multiplicarse por 100, esto se convierte en el porcentaje de crecimiento de la población. Para los humanos, esto es como el número de hijos por familia que sobreviven hasta la edad adulta. (Aunque tiene que dividirse por dos si hay dos padres por familia.) Se ha visto lo rápido que explota eso, a partir del cálculo en el Capítulo 3.

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