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Darwin hizo un uso sin igual de un modelo que falló, pero ¿cómo se puede mejorar el modelo para que no falle?

Piense en solo tres plantas de Susan de ojos negros (Rudbeckia hirta) que se establecen en el Parque Nacional Yellowstone, una cerca de la entrada noreste, una en el centro y una tercera cerca de la entrada sur, las plantas así separadas por más de 30 millas. ¿Con qué frecuencia el mismo polinizador podría visitar dos de las plantas para que las plantas pudieran reproducirse? Rara vez o nunca, porque estos polinizadores recorren distancias limitadas. La tasa de crecimiento de la planta será así de 0. (De hecho, será negativo, ya que las tres plantas eventualmente morirán).

Supongamos en cambio que 1000 de estas plantas estaban esparcidas por el parque, haciéndolas a unas 2 millas de distancia. Ocasionalmente podría pasar un polinizador, aunque la posibilidad de que visite a uno de los otros Susans de Ojos Negros sería muy baja. Aún así, con 1000 plantas en la zona, la tasa de crecimiento podría ser ligeramente positiva.

Ahora considera 1,000,000 de esas plantas, haciéndolas a unos 100 metros de distancia. Ahora la polinización se volvería relativamente frecuente. Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la población depende del número de plantas en la vecindad, lo que significa que este número debe ser parte de la ecuación utilizada para calcular la tasa de crecimiento poblacional.

Podemos usar la ecuación introducida anteriormente para calcular esta tasa. Primero, poner un parámetro en lugar del 1, así.

$$\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r$$, donde r anteriormente era 1

Después adjuntar un término que reconozca la densidad de otros miembros de la población, N.

$$\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r\,+\,sN$$,

Aquí r se relaciona con el número de crías que producirá cada planta si está sola en el mundo o en la zona, y s es el número de crías adicionales que producirá por cada planta adicional que aparezca en sus proximidades.

Supongamos r = 0 y s = 1/20, solo para ilustración, y comenzar con tres plantas, entonces N (0) = 3. Eso es

$$\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,0\,+\,0.05\,N$$,

Por ver la dinámica de esto, multiplicarlo de nuevo

$$\frac{∆N}{∆t}\, =\,(0\,+\,0.05\,N)\,N$$,

y convertir el modelo a código de computadora, así.
r=0; s=0.05; dt=1; t=0; N=3; print (N);

mientras que (t<=14)

{dN = (R+s*n) *n*dt; n=n+dn; t=t+dt; print (N);}

Si ejecutas este modelo en R (u otros idiomas en los que funciona este código, como C o AWK), verás los números a continuación.

3

3.45

4.045125

4.863277

6.045850

7.873465

10.97304

16.99341

31.43222

80.83145

407.5176

8,711.049

3,802,830

723,079,533,905

26,142,200,000,000,000,000,000

Grafica estos, y verás que los números se expanden más allá de todos los límites, verticalmente fuera de la página.

La línea azul muestra el crecimiento bacteriano ilimitado (crecimiento exponencial) que ayudó a llevar a Darwin a su idea de selección natural. La línea roja ilustra el nuevo “crecimiento de densidad mejorada” que se acaba de considerar, donde la tasa de crecimiento aumenta con la densidad.

Debido a que se acerca a una línea que es ortogonal a la línea abordada por el modelo logístico, descrito más adelante, llamamos a esto un “modelo ortólogo”. Huye hasta el infinito tan rápido que esencialmente llega ahí en una cantidad finita de tiempo. En física y matemática esta situación se llama “singularidad” —un lugar donde se rompen las reglas. Para entender esto, es importante recordar que todos los modelos son simplificaciones y por tanto aproximaciones, y se aplican en su rango específico. El modelo ortólogo se aplica bien a bajas densidades, donde mayores densidades significan mayor crecimiento. Pero un modelo diferente se hará cargo cuando las densidades lleguen demasiado altas. De hecho, si una población sigue un modelo ortólogo, el modelo predice que habrá algún gran cambio que ocurrirá en un futuro próximo, antes de la época de la singularidad.