4.3: Crecimiento limitado por densidad
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La tasa de crecimiento volverá a depender del número de plantas, pero ahora más plantas reducirán la tasa de crecimiento. Eso solo significa un signo menos en s.
\(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r\,+\,sN\), s <0
Nuevamente, r es el número de crías que cada una producirá si está sola en el mundo, pero con s negativo, s es el número que cada planta no podrá producir por cada planta adicional que aparezca en sus proximidades.
Supongamos que tenemos r = 1 y s = −1/1000, y comenzamos con tres plantas, entonces N (0) = 3. Aquí está el código, con los nuevos negativos s en rojo.
r=1; s=-0.001; dt=1; t=0; N=3; print (N);
mientras que (t<=20)
{dN = (R+s*n) *n*dt; n=n+dn; t=t+dt; print (N);}
Ahora, debido a que s es negativo, la tasa de crecimiento\(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\) bajará a medida que aumente la población, por lo que podría suponer que la tasa eventualmente llegará a cero y la población se nivelará. De hecho, se nivela a 1000.
Figura Crecimiento\(\PageIndex{1}\) logístico (verde) contrastado con crecimiento ortólogo (rojo) y crecimiento exponencial (azul).
El valor al que se nivela se denomina “equilibrio”, un valor en el que el sistema dinámico se vuelve quiescente y deja de cambiar. En el caso de la ecuación logística, también se le llama la “capacidad de carga”, nivel en el que el entorno no puede “llevar” a una población mayor.
Pero ¿por qué 1000? ¿Qué valor de\(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\) hará que la población se nivele? Cuando ∆N es 0, eso significa que “el cambio en N es cero”. Y eso significa que N deja de crecer. Y cuando ∆N es cero, todo el término a la izquierda es cero y el álgebra procede de la siguiente manera.
\(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\,=\,r\,+\,sN\)
\(0\,=\,r\,+\,sN\)
\(-sN\,=\,r\)
\(N\,=\frac{-r}{s}\)
Entonces la capacidad de carga es −r/s. En la Figura 4.3, −r/s = −1/ (−0.001) = 1000. ¡Exactamente donde terminó!
Esta es la célebre “ecuación logística”, publicada en 1838 por Pierre Verhulst. Comúnmente se escribe
\(\frac{∆N}{∆t}\,=\,rN(1\,-\frac{N}{K})\)
Observe que cuando N es igual a K, el factor entre paréntesis a la derecha se convierte en 1 − N/N = 1−1 = 0, por lo que todo el término de crecimiento ∆N /∆t se convierte en cero y la población deja de crecer. Así K es capacidad de carga, y por lo tanto K = −r/s.
Como ejercicio, es posible que desee sustituir −r/s por K en la ecuación anterior, luego simplificar y ver si obtiene la formulación r + sN.