Saltar al contenido principal

# 15.2: El diagrama de flujo SIR

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Un punto de partida estándar para examinar la teoría de la enfermedad es el “modelo SIR” (Figura$$\PageIndex{1}$$). En este modelo los individuos nacen “susceptibles”, dentro de la caja marcada$$S$$ a la izquierda. Pueden permanecer allí toda su vida, dejando la caja solo después de su muerte definitiva, marcada por la flecha roja que apunta hacia abajo desde la caja. La etiqueta$$\delta\,s$$ en esta flecha representa la tasa de flujo de la caja, la tasa de muerte de individuos que nunca han tenido la enfermedad. El modelo asume una tasa de mortalidad per cápita de$$\delta$$ muertes por individuo por unidad de tiempo. Si$$\delta$$ = 1/50, entonces un cincuentenario de la población morirá cada año. Multiplicando por el número de individuos en la caja,$$S$$, da el flow out of the box,$$\delta\,S$$ individuos por año.

La única otra forma de salir de la$$S$$ caja es a lo largo de la flecha roja apuntando a la derecha, indicando individuos susceptibles que se infectan y se mueven del cuadro izquierdo al cuadro del medio. (La flecha azul que apunta hacia arriba indica nuevos individuos creados por nacimientos, no individuos existentes que se mueven a una caja diferente). Esta tasa de flujo hacia la derecha es más complicada, dependiendo no solo del número de individuos susceptibles en el cuadro izquierdo sino del número de individuos infectados$$I$$ en el cuadro medio. En la etiqueta en la flecha que apunta a la derecha fuera de la$$S$$ caja se encuentra el coeficiente de infectividad$$\beta$$, el número de individuos susceptibles convertidos por cada individuo infectado por unidad de tiempo si todos los individuos de toda la población son susceptibles. Esto se multiplica por el número de individuos que pueden hacer la infección,$$I$$, luego por la probabilidad de que un “propágulo de infección” llegue e infecte a alguien que sea susceptible,$$S\,/\,(S\,+\,I\,+\,R)$$. Esto es solo la relación entre el número en la$$S$$ caja y el número en todas las casillas combinadas, y en efecto “descuentos” la tarifa máxima$$\beta$$. Todo el término indica el número de individuos por unidad de tiempo dejando la$$S$$ casilla a la izquierda e ingresando a la$$I$$ casilla en el medio.

Todos los demás colores de la Figura$$\PageIndex{1}$$ son similares. La virulencia simbolizada con$$\alpha$$ es la tasa de muerte de individuos infectados, los que están en la$$I$$ caja. Esto da como resultado$$\alpha\,I$$ muertes por año entre individuos infectados, transfiriéndose de la$$I$$ caja azul a la caja gris debajo de ella. Tenga en cuenta que si los individuos infectados también pueden morir por otras causas, la virulencia real podría ser más parecida$$\alpha\,-\delta$$, aunque la situación se complica por los detalles de la enfermedad. Si una enfermedad deja a sus víctimas postradas en cama, por ejemplo, su tasa de mortalidad por otras causas como accidentes, como ser atropellado por un tren, puede reducirse. Dichos refinamientos pueden abordarse en modelos detallados de enfermedades específicas, pero mejor no se consideran en un modelo introductorio como este.

La otra salida de la$$I$$ caja azul en medio de la Figura$$PageIndex{1}$$ es por recuperación, a lo largo de la flecha roja que conduce al$$R$$ cuadro azul de la derecha. En este modelo introductorio, los individuos recuperados son permanentemente inmunes a la enfermedad, por lo que la única salida de la$$R$$ caja es por la muerte, la flecha roja hacia abajo, con individuos$$\delta\,R$$ recuperados que mueren al año. Tenga en cuenta que se supone que los individuos recuperados están completamente recuperados, y que no sufren ninguna tasa de muerte mayor que los individuos susceptibles en la$$S$$ caja (ambos tienen la misma tasa de mortalidad)$$\delta$$. Nuevamente, los refinamientos sobre este supuesto pueden abordarse en modelos más detallados de enfermedades específicas. Las flechas azules representan descendencia nacida y sobreviviente, no individuos dejando una caja por otra. En este modelo introductorio, todos los individuos tienen la misma tasa de natalidad b, por lo que estar infectados o recuperarse no afecta la tasa. Por lo tanto, el número total de crías nacidas y sobrevivientes es$$b\,(S\,+\,I\,+\,R)$$. Esta es la flecha roja final en la Figura$$\PageIndex{1}$$, colocando a los recién nacidos inmediatamente en la caja de individuos susceptibles.

This page titled 15.2: El diagrama de flujo SIR is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Clarence Lehman, Shelby Loberg, & Adam Clark (University of Minnesota Libraries Publishing) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.