15.7:15.7 El modelo RSn de nuevo

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Volvamos a plazos más cortos sin evolución. Observe que la prevalencia\(p\) cambia con el tiempo a medida que la epidemia se propaga\(\beta\), pero\(\alpha\),, y se\(v\) mantiene constante. Así que comenzando con

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

reorganización de términos,

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=(\beta(1-v)-\alpha)-\beta\,p\]

y sustituyendo\(r\,=\,\beta(1\,-\,v)\,−\,\alpha,\,s\,=\,−\beta\,,\,and\,N\,=\,p\),

\[\frac{1}{N}\,\frac{dN}{dt}\,=\,r\,+\,sN\]

¡Voilà, se revela que el modelo epidemiológico I es solo el modelo estándar de ecología en otro disfraz! Pero ahora, con mecanismos incluidos (infectividad, virulencia, vacunación), se pueden llegar a conclusiones más profundas.

Al llegar a este modelo estándar, por ejemplo, establecemos s igual a −\(\beta\). Porque\(\beta\) es positivo, el término de dependencia de densidad\(s\) es negativo, Negativo\(s\) implica crecimiento logístico (positivo\(s\) es ortólogo), es decir, que\(N\) alcanzará una capacidad de carga, un equilibrio, un estado estacionario. Pero para llegar al modelo estándar, nos fijamos\(N\) igual a\(p\), por lo que dado que\(N\) alcanza un equilibrio en el modelo estándar, la prevalencia\(p\) alcanzará un equilibrio en el\(I\) modelo.

Sin más análisis se puede concluir, por lo tanto, que una enfermedad no necesariamente infectará a toda una población, sino que su prevalencia se nivelará cuando alcance una capacidad de carga, al equivalente de −\(r/s\). Sustituye hacia atrás\((r\,=\,\beta\,(1\,−\,v)\,−\,\alpha\,and\,s\,=\,−\beta\,)\) y encontrarás la capacidad de carga de la enfermedad:

\[\hat{p} = 1 − \frac{α}{b} − v \]

El sombrero pequeño encima del\(p\) es solo un recordatorio de que esta no es la prevalencia variable\(p\), sino el valor fijo de la prevalencia de equilibrio,\(\hat{p}\).

Piense en el enfoque en 15.6, que utilizó\(R_0\). Aquí hay otra forma de obtener el resultado. Ya que\(v\), la proporción de la población vacunada, aparece en la ecuación con un signo menos, eso significa que cuanto mayor sea la proporción vacunada, menor será la prevalencia de equilibrio\(\hat{p}\). De hecho, fijando\(\hat{p}\,=\,0\) y resolviendo para\(v\)\(v\,=\,1\,−\,\alpha\,/\beta\), cuándo, la prevalencia\(p\) será cero y se erradicará la enfermedad. (En realidad, por un margen de error, cuándo\(v\,\ge\,1\,−\,\alpha\,/\beta\).