4.7: Ley de suma de varianza II - Variables correlacionadas

Objetivos de aprendizaje

• Exponer la ley de suma de varianza cuando\(X\) y no se supone que\(Y\) son independientes
• Computar la varianza de la suma de dos variables si se conoce la varianza de cada una y su correlación
• Computar la varianza de la diferencia entre dos variables si se conoce la varianza de cada una y su correlación

Recordemos que cuando las variables\(X\) y\(Y\) son independientes, la varianza de la suma o diferencia entre\(X\) y se\(Y\) puede escribir de la siguiente manera:

\[ \sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_{X }^2 + \sigma_{Y}^2 \label{eq1}\]

que se lee: “La varianza de\(X\) más o menos\(Y\) es igual a la varianza de\(X\) más la varianza de”\(Y\).

Cuando\(X\) y\(Y\) están correlacionados, se debe utilizar la siguiente fórmula:

\[ \sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_{X }^2 + \sigma_{Y}^2 \pm 2 \rho \sigma_X \sigma_Y \label{eq2}\]

donde\(\rho\) está la correlación entre\(X\) y\(Y\) en la población.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si la varianza de SAT verbal fueron\(10,000\), la varianza del SAT cuantitativo fueron\(11,000\) y la correlación entre estas dos pruebas fueron\(0.50\), ¿cuál es la varianza del SAT total (verbal + cuantitativo) y la diferencia (verbal - cuantitativa)?

Solución

Dado que las dos variables están correlacionadas, usamos Ecuación\ ref {eq2} en lugar de Ecuación\ ref {eq1} para variables no correlacionadas (independientes). Por lo tanto, la varianza de la suma es

\[\sigma^2_{verbal + quant} = 10,000 + 11,000 + 2\times 0.5\times \sqrt{10,000} \times \sqrt{11,000}\]

que es igual a\(31,488\). La varianza de la diferencia también está determinada por la Ecuación\ ref {eq2}:

\[\sigma^2_{verbal - quant} = 10,000 + 11,000 - 2\times 0.5\times \sqrt{10,000} \times \sqrt{11,000}\]

que es igual a\(10,512\).

Si las varianzas y la correlación se calculan en una muestra, entonces se utiliza la siguiente notación para expresar la ley de suma de varianza:

\[ s_{X \pm Y}^2 = s_{X }^2 + s_{Y}^2 \pm 2 r\, s_X \, s_Y\]