4.1: Estados consolidados

Uno de los potenciales más simples para estudiar las propiedades de es el llamado potencial de pozo cuadrado (Figura\(\PageIndex{1}\)),

\ [V (x) =\ izquierda\ {\ begin {alineada}
&0 && | x | > a\\
&-V_0 && | x | < a
\ end {alineada}
\ derecha. \ label {4.1}\]

Figura\(\PageIndex{1}\) : El potencial de pozo cuadrado

Definimos tres áreas, de izquierda a derecha en la Figura\(\PageIndex{1}\): I, II y III. En las áreas I y III tenemos la ecuación de Schrödinger para una partícula libre

\[− \dfrac{ℏ^2}{2 m} \dfrac{d^2}{d x^ 2} ψ ( x ) = E ψ ( x ) \label{4.2}\]

mientras que en el área II tenemos la ecuación

\[− \dfrac{ℏ^2}{2 m} \dfrac{d^2}{d x^ 2} ψ ( x ) = ( E + V_0 ) ψ ( x ) \label{4.3}\]

Solución a algunas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

En esta clase encontraremos muy a menudo las ecuaciones diferenciales ordinarias

\[ \dfrac{d^2}{d x^2} f( x)=−α^2 f( x) \label{4.4}\]

que tiene como solución

\[\begin{align} f( x) &= A_1 \cos (α x)+ B_1 \sin (α x) \\[5pt] &= C_1 e^{iα x} + D_1 e^{− iα x}, \label{4.5} \end{align}\]

y

\[ \dfrac{d^2}{d x^ 2} g( x)=+α^2 g( x) \label{4.6}\]

que tiene como solución

\[\begin{align} g( x) &= A_2 \cosh (α x)+ B_2 \sinh (α x) \\[5pt] &= C_2 e^{α x} + D_2 e^{−α x}. \label{4.7} \end{align}\]

Caso 1: E> 0

Primero echemos un vistazo\(E> 0\). En ese caso la ecuación en las regiones I y III puede escribirse como

\[\dfrac{d^2}{d x^2} ψ ( x ) = − \dfrac{2 m}{ℏ^2} E ψ ( x ) = − k^2 ψ (x), \label{4.8}\]

donde

\[k = \sqrt{ \dfrac{2 m}{ℏ^2}} E \label{4.9}\]

La solución a esta ecuación es una suma de senos y cosenos de\(k x\), los cuales no se pueden normalizar: Escribir

\[ψ_{III}( x)= A \cos ( k x)+ B \sin ( k x)\]

donde (\(A\)y\(B\) puede ser complejo) y calcular la parte de la norma originaria de la región III,

\[ \begin{align} \int_a^{∞} |ψ(x)|^2 dx &= \int_a^∞ |A|^2 \cos^2 kx + |B|^2 \sin^2 k x + 2 ℜ ( A B^∗ ) \sin (kx) \cos (kx) dx \\[5pt] &= \lim_{N → ∞} N \int_a^{2 π ∕ k} | A |^2 \cos^2 (kx) + | B |^2 \sin^2 (kx) \\[5pt] &= \lim_{N → ∞} N \left( \dfrac{| A |^ 2}{ 2} + \dfrac{| B |^2}{2} \right ) = ∞ . \label{4.10} \end{align} \]

También encontramos que la energía no puede ser menor que\(−V_0 \), ya que no podemos construir una solución para ese valor de la energía. Así nos limitamos a\(− V_0< E< 0\). Escribimos

\[E = − \dfrac{ ℏ^2}{ k^2 2 m} \]

y

\[E + V_0 = \dfrac{ℏ^2κ^2}{2 m} . \label{4.11}\]

Las soluciones en las áreas I y III son de la forma (\(i=1,\,3\))

\[ψ ( x ) = A_i e^{k x} + B_i e^{− k x}. \label{4.12}\]

En la región II tenemos la solución oscilatoria

\[ψ ( x ) = A_2 \cos ( κ x ) + B_2 \sin ( κ x ). \label{4.13}\]

Ahora tenemos que imponer las condiciones a las funciones de onda que hemos discutido antes, la continuidad de\(ψ\) y sus derivadas. En realidad también tenemos que imponer la normalizabilidad, lo que significa que\(B_1= A_3= 0\) (las funciones que crecen exponencialmente no se pueden normalizar). Como veremos solo tenemos soluciones a ciertas energías. La continuidad implica que

\[ \begin{align} A_1 e^{ − k a} + B_1 e^{ k a} &= A_2 \cos ( κ a ) − B_2 \sin ( κ a ) \label{4.14A} \\[5pt] A_3 e^{k a} + B_3 e^{− k a} &= A_2 \cos ( κ a ) + B_2 \sin ( κ a ) \label{4.14B} \\[5pt] k A_1 e^{k a} − k B_1 e^{k a} &= κ A_2 \sin ( κ a ) + κ B_2 \cos ( κ a ) \label{4.14C} \\[5pt] k A_3 e^{ k a} − k B_3 e^{− k a} &= − κ A_2 \sin ( κ a ) + κ B_2 \cos ( κ a ) \label{4.14D} \end{align}\]

Enfoque Táctico

Deseamos encontrar una relación entre\(k\) y\(κ\) (¿por qué?) , quitando como maby de las constantes\(A\) y B. El truco consiste en encontrar primero una ecuación que sólo contenga\(A_2\) y\(B_2\). Para ello tomamos la relación de Ecuaciones\ ref {4.14A} y\ ref {4.14C} y luego la relación de Ecuaciones\ ref {4.14B} y\ ref {4.14D}:

\[\begin{align} k &= \dfrac{κ [ A_2 \sin ( κ a ) + B_2 \cos ( κ a ) ]}{ A_2 \cos ( κ a ) − B_2 \sin ( κ a )} \label{4.15A} \\[5pt] k &= \dfrac{κ [ A_2 \sin ( κ a ) − B_2 \cos ( κ a ) ]}{ A_2 \cos ( κ a ) + B_2 \sin ( κ a )} \label{4.15B} \end{align}\]

Podemos combinar las Ecuaciones\ ref {4.15A} y\ Ref4.15b} a una sola equiparando los lados de la derecha. Después de eliminar el factor común\(κ\), y multiplicar por los denominadores encontramos

\[[ A_2 \cos ( κ a ) + B_2 \sin ( κ a ) ] [ A_2 \sin ( κ a ) − B_2 \cos ( κ a ) ] = [ A_2 \sin ( κ a ) + B_2 \cos ( κ a ) ] [ A_2 \cos ( κ a ) − B_2 \sin ( κ a ) ] , \label{4.16}\]

lo que simplifica

\[A_2 B_2 = 0 \label{4.17}\]

Tenemos así dos familias de soluciones, las caracterizadas por\(B_2= 0\) y las que tienen\(A_2= 0\).