3.3.2: Promedios para llegar a las ecMm

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 51118

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} $

$ \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} $

$ \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}$

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$
$\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}$
$\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}$
$\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}$
$\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}$
$\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}$
$\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}$
$\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}$

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Esperamos que el problema de las ecMm sobre un continuo sea más sencillo que el problema de las ecM sobre cargas discretas.

Como las derivadas $\frac{\partial}{\partial x}$ de las ecuaciones de MAXWELL son respecto a r y la integral es respecto a $ \mathbf{r}^{\prime}$ se puede escribir

\[
\begin{aligned}
\left\langle\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial x}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial x} \\
\left\langle\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\frac{\partial}{\partial t}\left\langle\mathbf{E}_{m i c}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t}
\end{aligned}
\]

Tomamos promedios a ambos lados de las ecM:

\[
\begin{aligned}
\left\langle\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m i c}\right\rangle &=\langle\rho\rangle \\
\left\langle\nabla \cdot \mathbf{B}_{\text {mic }}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\
\left\langle\nabla \wedge \mathbf{E}_{m i c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle 0\rangle \\
\left\langle\frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m i c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m i c}}{\partial t}\right\rangle &=\langle\mathbf{j}\rangle
\end{aligned}
\]

Se convierten en

\[
\begin{aligned}
\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\langle\rho\rangle \\
\nabla \cdot \mathbf{B}_{m a c} &=0 \\
\nabla \wedge \mathbf{E}_{m a c}+\frac{\partial \mathbf{B}_{m a c}}{\partial t} &=0 \\
\frac{1}{\mu_{0}} \nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\langle\mathbf{j}\rangle
\end{aligned}
\]

la segunda y tercera ecuaciones están ya en el formato que buscamos, mientras que las otras necesitan de algunos arreglos, para los que nos valdremos de los siguientes resultados del electromagnetismo

1.$\langle\rho\rangle=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle+\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle$, donde $\left\langle\rho_{l i g}\right\rangle=-\nabla \cdot \mathbf{P} .$ El vector

\[
\mathbf{P}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} q_{j} \mathbf{r}_{j}
\]

recibe el nombre de vector polarización (nada que ver con la polarización de una onda) y corresponde al momento dipolar por unidad de volumen.

2. $\langle\mathbf{j}\rangle=\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle+\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle$, donde $\left\langle\mathbf{j}_{l i g}\right\rangle=\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M} .\) El vector

\[
\mathbf{M}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{j \in \Delta V} \frac{1}{2} q_{j} \dot{\mathbf{r}}_{j} \wedge \mathbf{r}_{j} \notag
\]

se llama vector magnetización, y corresponde a la magnetización por unidad de volumen.

Así las cosas las dos ecuaciones de MAXWELL que dependen de la materia quedan

\[
\begin{aligned}
\epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E}_{m a c} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle-\nabla \cdot \mathbf{P} \\
\nabla \wedge \mathbf{B}_{m a c}-\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}_{m a c}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+\nabla \wedge \mathbf{M}
\end{aligned}
\]

Por concisión prescindiremos en lo que sigue de los subíndices mac; usaremos $\mathbf{E} \equiv \mathbf{E}_{\text {mac }}$ y $\mathbf{B} \equiv \mathbf{B}_{\text {mac }}$. Definiendo unos nuevos vectores (llamados, respectivamente, vector desplazamiento eléctrico y vector campo magnético)

\[
\begin{aligned}
&\mathbf{D}=\epsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P} \\
&\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}-\mathbf{M}
\end{aligned}
\]

se reescriben las dos ecuaciones en cuestión

\[
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\
\nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle
\end{aligned}
\]

Las ecMm son ecuaciones en las que aparecen cuatro campos. Y eso es porque dos de ellos tienen en cuenta la materia, las $\sim 10^{28}$ partículas por metro cúbico: $\mathbf{P}$ y M. Estas son las ecuaciones de MAXWELL macroscópicas:

\[ \begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{D} &=\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &=0 \\
\nabla \wedge \mathbf{E}-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &=0 \\
\nabla \wedge \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} &=\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle
\end{align} \]

Las ecMm son las ecM de partida, pero con las densidades de carga y de corriente ligadas incluídas en los campos del lado izquierdo. Los resultados de la propagación en el vacío se pueden trasponer con ciertas precauciones, y resulta para la energía transportada por la onda

\[
\mathbf{S}=\mathbf{E} \wedge \mathbf{H} \notag
\]

y el promedio temporal para ondas armónicas

\[
\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2} \Re\left\{\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}^{*}\right\}\notag
\]

La ecuación de continuidad es

\[
\frac{\partial\left\langle\rho_{l i b}\right\rangle}{\partial t}+\nabla \cdot\left\langle\mathbf{j}_{l i b}\right\rangle=0 \notag
\]

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type