11.6: Transformación inversa de Lorentz

a partir de coordenadas de evenf de laboratorio, calcula rockel coordinales

Las ecuaciones (L-10) proporcionan coordenadas de laboratorio de un evento cuando se conocen las coordenadas del cohete del mismo evento. Pero supongamos que uno ya conoce las coordenadas de laboratorio del evento y desea predecir las coordenadas del evento medidas por el observador del cohete. ¿Qué ecuaciones se deben utilizar para este propósito?

Una manipulación algebraica de ecuaciones (L-10) proporciona la respuesta. Las dos primeras de estas ecuaciones se pueden considerar como dos ecuaciones en las dos incógnitas\(x^{\prime}\) y\(t^{\prime}\). Resuelve por estas incógnitas en términos de las ahora conocidas\(x\) y\(t\). Para ello, multiplica ambos lados de la segunda ecuación por\(v_{\text {rel }}\) y resta los lados correspondientes de la segunda ecuación resultante de la primera. Términos en\(x^{\prime}\) cancelar para producir Derivación\[t-v_{\mathrm{rel}} x=\gamma t^{\prime}-v_{\mathrm{rel}}^{2} \gamma t^{\prime}=\gamma\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right) t^{\prime}=\frac{\gamma}{\gamma^{2}} t^{\prime}=\frac{t^{\prime}}{\gamma}\] larga de transformación inversa de Lorentz

Aquí hemos utilizado la definición\(\gamma^{2}=1 /\left(1-v_{\text {rel }}^{2}\right) .\) La ecuación para entonces se\(t^{\prime}\) puede escribir\[t^{\prime}=-v_{\text {rel }} \gamma x+\gamma t\] Un procedimiento similar conduce a la ecuación para\(x^{\prime}\). Multiplica la primera de las ecuaciones (L-10) por\(v_{\text {rel }}\) y resta los lados correspondientes de la primera ecuación de la segunda

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- ¡Pruébalo! Los\(z\) componentes\(y\) y son respectivamente iguales en ambos fotogramas, como antes. Entonces las ecuaciones de transformación inversa de Lorentz se convierten en\[\begin{aligned} &t^{\prime}=-v_{\text {rel }} \gamma x+\gamma t \\ &x^{\prime}=\gamma x-v_{\text {rel }} \gamma t \\ &y^{\prime}=y \\ &z^{\prime}=z \end{aligned}\] O, sustituyendo de nuevo por gamma,\(\gamma=1 /\left(1-v_{\text {rel }}^{2}\right)^{1 / 2}\)

Transformación inversa de Lorentz\[\begin{aligned} &t^{\prime}=\frac{-v_{\mathrm{rel}} x+t}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ &x^{\prime}=\frac{x-v_{\mathrm{rel}} t}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ &y^{\prime}=y \quad \text { and } \quad z^{\prime}=z \end{aligned}\] Las ecuaciones (L-1 1) transforman las coordenadas de un evento conocido en el marco del laboratorio en coordenadas en el marco del cohete.

Un argumento sencillo pero poderoso desde la simetría conduce al mismo resultado. El argumento de simetría se basa en la velocidad relativa entre los marcos de laboratorio y cohetes. Con respecto al laboratorio, el cohete por convención se mueve con velocidad conocida en la\(x\) dirección positiva. Con respecto al cohete, el laboratorio se mueve con la misma velocidad pero en sentido contrario, el\(x\) sentido negativo. Esta convención sobre direcciones positivas y negativas, ¡no una ley de la física! - es la única diferencia entre los marcos de laboratorio y cohetes que se puede observar desde cualquiera de los dos marcos. Las ecuaciones de transformación de Lorentz deben reflejar esta única diferencia. En consecuencia, la transformación “inversa” (laboratorio-cohete) puede obtenerse a partir de la transformación “directa” (cohete a laboratorio) cambiando el signo de velocidad relativa\(v_{\text {rel }}\), en las ecuaciones e intercambiando etiquetas de laboratorio y cohetes (coordenadas cebadas y no cebadas). Al llevar a cabo esta operación en las ecuaciones de transformación de Lorentz (L-10) se obtienen las ecuaciones de transformación inversa (L-11).