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Para el Uso del Instructor
Un apéndice lleno de gore matemático continuo puede parecer una extraña etiqueta en un libro destinado a enseñar a la gente sobre la relatividad utilizando principalmente imágenes, que contienen solo tantas ecuaciones como sean absolutamente necesarias. No obstante lo incluyo para instructores y esos pocos lectores a los que no les importa las matemáticas. Lo hago por tres razones. Primero, en el capítulo 4 de este libro se hace una afirmación de longitud de arco que se da sin pruebas visuales, y los lectores tal vez deseen saber que tal prueba existe. Segundo, uno puede querer determinar los factores de dilatación del tiempo exactamente para las porciones aceleradas de nuestro viaje a Alpha Centauri en el capítulo 3. En tercer lugar, las referencias que establecen relaciones relativistas que incluyen aceleración sin análisis tensor son casi inexistentes. Un libro agotado de Francis Sears y Robert Brehme* es el único que he encontrado.
Para mostrar que la longitud del arco en la figura 10 del capítulo 4 viene dada por la ecuación
\ [
(donde A = Gm/r 2) y, en última instancia, para obtener el radio Schwarzschild, primero se deben conocer las relaciones entre la posición, el tiempo de coordenadas y el tiempo adecuado en un sistema acelerado. Una primera define correctamente la aceleración en términos de derivadas de tiempo apropiado de las cuatro velocidades,
\[X=\{c t, \vec{r}\}, tag{A2a}\]
\[V=\frac{d X}{d \tau}=\left\{V_{t}, \vec{V}_{r}\right\}=c \gamma, \frac{d \vec{r}}{d \tau} , tag{A2b}\]
donde el superíndice μ toma los valores 0, 1, 2 y 3 referidos al tiempo y las tres coordenadas espaciales. Observe que V es la derivada de la posición X con respecto al tiempo adecuado y cuya derivada de tiempo apropiada es la aceleración: