10.3: Entropía y Gravedad

Hay algo profundo en el concepto de entropía que está relacionado con la gravedad. Esto está lejos de ser bien entendido, y es un tema de investigación en curso, pero hay buenas razones para pensar que las ecuaciones de campo de Einstein para la gravedad en realidad pueden surgir como algún tipo de condición de maximización de entropía. Un punto de contacto entre la gravedad y la entropía es para los espacio-tiempos con horizonte, un ejemplo es un agujero negro. En una teoría definitiva de la gravedad cuántica, los espacio-tiempos con horizonte pueden llegar a no ser nada especial, pero por ahora, pueden ser la única ventana a la conexión entre entropía y gravedad. Para ver algo de la conexión, observamos una solución esférica a las ecuaciones de Einstein, correspondiente a la métrica alrededor de un punto (o distribución esférica de) masa. Esta es la métrica Schwarzschild dada como

\[ds^2 = c^2 dt^2 \left( 1 − \frac{2GM}{c^2r} \right) − \frac{dr^2}{ \left(1 − \frac{2GM}{c^2r} \right)} − r^2 dθ^2 − r^2 \sin^2 θ d \varphi^2 \label{10.3.1}\]

Esto lo estamos escribiendo en las coordenadas esféricas habituales\((r, θ, \varphi)\) para las dimensiones espaciales. \(G\)es la constante gravitacional de Newton y\(c\) es la velocidad de la luz en el vacío. De inmediato podemos ver que hay dos singularidades en esta expresión. El primero está obviamente en\(r = 0\), similar a lo que ocurre en la teoría de Newton para el potencial gravitacional, y el segundo está en\(r = \frac{2GM}{c^2}\). Esta segunda singularidad es de dos esferas ya que se produce en un radio finito. Ahora bien, se puede demostrar que\(r = 0\) es una genuina singularidad de la teoría, en el sentido de que no puede ser eliminada por una transformación de coordenadas. La singularidad en\(r = \frac{2GM}{c^2}\) es una singularidad coordinada. Es como la singularidad en\(θ = 0\),\(π\) cuando utilizamos coordenadas esféricas y se puede eliminar eligiendo un conjunto diferente de coordenadas. Sin embargo, el radio\( \frac{2GM}{c^2}\) tiene un papel importante. La propagación de la luz, en la aproximación óptica de rayos, es descrita por\(ds = 0\). Como resultado, se puede ver que nada puede escapar\(r < \frac{2GM}{c^2}\) a valores mayores del radio, para ser detectados por observadores lejanos. Un observador lejano que esté viendo un objeto caer al centro verá la luz proveniente de él desplazándose al rojo debido al\((1 − \frac{2GM}{c^2r})\) factor, eventualmente desplazándose al rojo a frecuencia cero a medida que cruza\(r = \frac{2GM}{c^2}\); el objeto se desvanece. Por ello, y porque no es una singularidad real, decimos que la esfera en\(r = \frac{2GM}{c^2}\) es un horizonte. Debido a que nada puede escapar del interior del horizonte, la región interior es un agujero negro. El valor\( \frac{2GM}{c^2}\) se llama radio Schwarzschild.

¿Hay ejemplos de agujeros negros en la naturaleza? La métrica (\ ref {10.3.1}) se puede utilizar para describir el espacio-tiempo fuera de una distribución de materia casi esférica como una estrella o el Sol. Para el Sol, con una masa de aproximadamente\(2 × 10^{30} kg\), el radio de Schwarzschild está a punto\(1.4 km\). La forma de la métrica en (\ ref {10.3.1}) deja de ser válida una vez que pasamos dentro de la superficie del Sol, y así no hay horizonte físicamente realizado para el Sol (y para la mayoría de las estrellas). (Fuera de la masa gravitante, se puede usar (\ ref {10.3.1}) que es como se obtienen predicciones observables de la teoría de Einstein como la precesión del perihelio de Mercurio.) Pero consideremos una estrella que es más masiva que los límites de Chandrasekhar y Tolman-Oppenheimer-Volkov. Si es lo suficientemente masivo como para contraerse gravitacionalmente superando incluso la presión de degeneración del quark, su radio puede encogerse por debajo de su radio Schwarzschild y podemos obtener un agujero negro. La creencia es que hay tal agujero negro en el centro de nuestra galaxia, y la mayoría de las otras galaxias también.

Volviendo a las propiedades físicas de los agujeros negros, aunque la teoría clásica nos dice que nada puede escapar a un agujero negro, un efecto muy interesante es que los agujeros negros irradian. Este es un proceso cuántico. Un cálculo completo de este proceso no se puede hacer sin una teoría cuántica de la gravedad (que aún no tenemos). Entonces, si bien el hecho de que los agujeros negros deben irradiar se puede argumentar en generalidad, la naturaleza de la radiación sólo puede calcularse de manera semiclásica. El resultado de tal cálculo semiclásico es que independientemente de la naturaleza de la materia que entró en la formación del agujero negro, la radiación que sale es térmica, siguiendo el espectro de Planck, correspondiente a una cierta temperatura

\[ T_H = \frac{ħ c^3}{8 \pi k GM} \label{10.3.2} \]

Si bien muchos científicos entendieron procesos relacionados, el argumento general a favor de la radiación de los agujeros negros se debió a Hawking y de ahí que la radiación de cualquier horizonte espacio-temporal y la temperatura correspondiente se denominan la radiación Hawking y la temperatura Hawking, respectivamente.

Debido a que hay una temperatura asociada a un agujero negro, podemos pensarlo como un sistema termodinámico obedeciendo

\[ dU =T\;dS \label{10.3.3} \]

La energía interna se puede tomar como\(M c^2\) siguiendo la equivalencia masa-energía de Einstein. Entonces podemos usar la ecuación\ ref {10.3.3} para calcular la entropía de un agujero negro como

\[S_{B-H} = \frac{c^3}{ħ} \frac{A}{4\;G} \label{10.3.4} \]

(Esta fórmula para la entropía se conoce como la fórmula Bekenstein-Hawking.) Aquí\(A\) está el área del horizonte,\ (A = 4πR_S^2, R_S =\ frac {2GM} {c^2} siendo el radio Schwarzschild.

Estos resultados inmediatamente traen a colación una serie de acertijos.

1. A priori, no hay nada termodinámico en la métrica Schwarzschild ni en el proceso de radiación. La radiación puede obtenerse de la versión cuantificada de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo de fondo (\ ref {10.3.1}). Entonces, ¿cómo surgen los conceptos termodinámicos en este caso?
2. Se podría imaginar formar un agujero negro a partir de un estado muy ordenado de muy baja entropía. Sin embargo, una vez que se forma el agujero negro, la entropía viene dada por (\ ref {10.3.4}). No hay nada malo en generar más entropía, pero ¿cómo perdimos la información codificada en el estado de baja entropía? Además, la radiación que sale es térmica y por lo tanto no lleva información. Entonces, ¿hay alguna manera de entender qué le pasó? Estas preguntas se pueden agudizar aún más. En primer lugar, podemos ver que el agujero negro Schwarzschild puede evaporarse por la radiación Hawking en un tiempo finito. Esto se debe a que la radiación sigue el espectro de Planck y así podemos usar la ley Stefan-Boltzmann (8.3.14) para calcular la tasa de pérdida de energía. Entonces a partir de\[ \frac{d(M\;c^2)}{dt} = −σT_H^4A \label{10.3.5}\] podemos obtener el tiempo de evaporación. Ahora, hay un problema con que la radiación sea térmica. La evolución temporal en la teoría cuántica es por transformaciones unitarias y éstas no generan ninguna entropía. Entonces, si hacemos un agujero negro a partir de un estado de entropía muy baja y luego se evapora en radiación térmica que es un estado de alta entropía, ¿cómo es esto compatible con la evolución unitaria en el tiempo? ¿Necesitamos modificar la teoría cuántica, o necesitamos modificar la teoría de la gravedad?
3. Por lo general, cuando tenemos entropía distinta de cero, podemos entender eso en términos de conteo microscópico de estados. ¿El número de estados de un agujero negro es proporcional a\(S_{B−H}\)? ¿Hay alguna manera cuantitativa de mostrar esto?
4. La entropía es proporcional al área del horizonte. Por lo general, la entropía es extensa y el número de estados es proporcional al volumen (vía cosas como\( \frac {d^3xd^3p}{(2πħ)^3}\)). ¿Cómo se pueden realizar todos los estados necesarios para un sistema en términos de una superficie de menor dimensión?

Hay algunas respuestas tentativas a algunas de estas preguntas. Aunque aparentemente existe un problema con la evolución unitaria en el tiempo, esto puede deberse a que no podemos hacer un cálculo completo. La aproximación semiclásica se descompone para agujeros negros muy pequeños. Por lo que no podemos calcular de manera confiable las últimas etapas de la evaporación del agujero negro. Los cálculos de ejemplo con agujeros negros en dimensiones inferiores se pueden hacer usando la teoría de cuerdas y esto sugiere que la evolución del tiempo es realmente unitaria y que la información se recupera en las correlaciones en la radiación que se desarrollan en etapas posteriores.

Para la mayoría de las soluciones de agujeros negros, no hay conteo confiable de microestados que conducen a la fórmula (\ ref {10.3.4}). Pero hay algunos agujeros negros supersimétricos en la teoría de cuerdas para los cuales tal conteo se puede hacer usando técnicas especiales para la teoría de cuerdas. Para esos casos, uno sí obtiene la fórmula (\ ref {10.3.4}). Esto sugiere que la teoría de cuerdas podría proporcionar una teoría cuántica consistente de agujeros negros y, más generalmente, de espacio-tiempos con horizontes. También podría ser que la fórmula (\ ref {10.3.4}) tenga tal universalidad (como hacen muchas cosas en la termodinámica) que la teoría microscópica puede no importar y que si aprendemos a hacer el conteo de estados correctamente, cualquier teoría que tenga gravedad cuántica conducirá a (\ ref {10.3.4}), con quizás, calculable adicional correcciones (que son subdireccionales, es decir, menos extensas que el área).

La idea de que una superficie de menor dimensión puede codificar suficiente información para reconstruir la dinámica en un espacio dimensional superior es similar a lo que sucede en un holograma. Entonces tal vez para entender la fórmula de la entropía (\ ref {10.3.4}), se necesita una formulación holográfica de leyes físicas. Tal formulación se realiza, al menos para una clase restringida de teorías, en la llamada correspondencia ADS/CFT (o correspondencia holográfica) y sus desarrollos posteriores. La conjetura original para esto se debe a J. Maldacena y afirma que la teoría de cuerdas sobre un fondo espacio-tiempo anti-de Sitter (ADs) en cinco dimensiones (con una 5-esfera adicional) es dual a la teoría del calibre Yang-Mills máximamente supersimétrica (que es una teoría de campo conforme (CFT)) en el límite de los ADs espacio. Uno puede, en principio, ir y venir, calculando cantidades en una usando la otra. Aunque sigue siendo una conjetura, esto sí parece sostenerse para todos los casos en los que los cálculos han sido posibles.

Es claro que esto está lejos de ser una historia terminada. Pero por lo que se ha dicho hasta ahora, hay buenas razones para creer que la investigación a lo largo de los próximos años descubrirá alguna conexión profunda entre la gravedad y la entropía.