5.7: Variables libres y oraciones

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 103690

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} $

$ \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} $

$ \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}$

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$
$\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}$
$\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}$
$\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}$
$\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}$
$\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}$
$\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}$
$\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}$

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Template:MathJaxZach

Definición$\PageIndex{1}$: Free occurrences of a variable

Las ocurrencias libres de una variable en una fórmula se definen inductivamente de la siguiente manera:

$\indcaseA{A}{$A$ is atomic}$todas las ocurrencias de variables en$\indfrm$ son libres.
$\indcase{A}{\lnot B}$las ocurrencias de variables libres de$\indfrm$ son exactamente las de$B$.
$\indcase{A}{(B \ast C)}$las ocurrencias variables libres de$\indfrm$ son las que están$B$ junto con las de$C$.
$\indcase{A}{\lforall{x}{B}}$las ocurrencias de variables libres en$\indfrm$ son todas aquellas en$B$ excepto las ocurrencias de$x$.
$\indcase{A}{\lexists{x}{B}}$las ocurrencias de variables libres en$\indfrm$ son todas aquellas en$B$ excepto las ocurrencias de$x$.

Definición$\PageIndex{2}$: Bound Variables

Una ocurrencia de una variable en una fórmula$A$ está ligada si no es libre.

Problema$\PageIndex{1}$

Dar una definición inductiva de las ocurrencias de variables enlazadas a lo largo de las líneas de Definición$\PageIndex{1}$.

Definición$\PageIndex{3}$: Scope

Si$\lforall{x}{B}$ es una ocurrencia de una subfórmula en una fórmula$A$, entonces la ocurrencia correspondiente de$B$ in$A$ se llama el alcance de la ocurrencia correspondiente de$\lforall{x}{}$. De manera similar para$\lexists{x}{}$.

Si$B$ es el alcance de una ocurrencia cuantificador$\lforall{x}{}$ o$\lexists{x}{}$ en$A$, entonces las ocurrencias libres de$x$ in$B$ están enlazadas en$\lforall{x}{B}$ y$\lexists{x}{B}$. Decimos que estas ocurrencias están ligadas por la ocurrencia cuantificadora mencionada.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Considera la siguiente fórmula:\[\lexists{\Obj v_0}{\underbrace{\Atom{\Obj A^2_0}{\Obj v_0,\Obj v_1}}_{B}}\nonumber\]$B$ representa el alcance de$\lexists{\Obj v_0}{}$. El cuantificador se une a la ocurrencia de$\Obj v_0$ in$B$, pero no se une a la ocurrencia de$\Obj v_1$. Así$\Obj v_1$ es una variable libre en este caso.

Ahora podemos ver cómo esto podría funcionar en una fórmula más complicada$A$:\[\lforall{\Obj v_0}{\underbrace{(\Atom{\Obj A^1_0}{\Obj v_0} \lif \Atom{\Obj A^2_0}{\Obj v_0, \Obj v_1})}_{B}} \lif \lexists{\Obj v_1}{\underbrace{(\Atom{\Obj A^2_1}{\Obj v_0, \Obj v_1} \lor \lforall{\Obj v_0}{\overbrace{\lnot \Atom{\Obj A^1_1}{\Obj v_0}}^{D}})}_{C}}\nonumber\]$B$ es el alcance de la primera$\lforall{\Obj v_0}{}$,$C$ es el alcance de$\lexists{\Obj v_1}{}$, y$D$ es el alcance de la segunda $\lforall{\Obj v_0}{}$. El primero$\lforall{\Obj v_0}{}$ se une a las ocurrencias de$\Obj v_0$ in$B$,$\lexists{\Obj v_1}{}$ la ocurrencia de$\Obj v_1$ in$C$, y el segundo$\lforall{\Obj v_0}{}$ se une a la ocurrencia de$\Obj v_0$ in $D$. La primera ocurrencia$\Obj v_1$ y la cuarta ocurrencia de$\Obj v_0$ son libres en$A$. La última ocurrencia de$\Obj v_0$ es libre en$D$, pero atado en$C$ y$A$.

Definición$\PageIndex{4}$: Sentence

Una fórmula$A$ es una oración iff que no contiene ocurrencias libres de variables.

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type