9.12: Derivaciones con predicado de identidad
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
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\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
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\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
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\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
Las derivaciones con predicado de identidad requieren reglas de inferencia adicionales.
En las reglas anteriores,\(t\),\(t_1\), y\(t_2\) son términos cerrados. La\(\Intro{\eq[][]}\) regla nos permite derivar cualquier declaración de identidad de la forma de\(\eq[t][t]\) plano, a partir de ninguna suposición.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Si\(s\) y\(t\) son términos cerrados, entonces\(A(s), \eq[s][t] \Proves A(t)\):
Esto puede ser familiar como el “principio de sustituibilidad de las mismas”, o Ley de Leibniz.
Problema\(\PageIndex{1}\)
Demostrar que\(=\) es tanto simétrico como transitivo, es decir, dar derivaciones de\(\lforall{x}{\lforall{y}{(\eq[x][y] \lif \eq[y][x])}}\) y\(\lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{}((\eq[x][y] \land \eq[y][z]) \lif \eq[x][z])}}\)
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Derivamos la sentencia
\[\lforall{x}{\lforall{y}{((A(x) \land A(y)) \lif \eq[x][y])}} \nonumber\]
de la sentencia
\[\lexists{x}{\lforall{y}{(A(y) \lif \eq[y][x])}}\nonumber\]
Desarrollamos la derivación hacia atrás:
Ahora tendremos que usar el supuesto principal: al tratarse de una fórmula existencial, utilizamos\(\Elim{\lexists{}{}}\) para derivar la conclusión intermediaria\(\eq[a][b]\).
La subderivación en la parte superior derecha se completa utilizando sus supuestos para mostrar eso\(\eq[a][c]\) y\(\eq[b][c]\). Esto requiere dos derivaciones separadas. La derivación para\(\eq[a][c]\) es la siguiente:
De\(\eq[a][c]\) y\(\eq[b][c]\) derivamos\(\eq[a][b]\) por\(\Elim{\eq[][]}\).
Problema\(\PageIndex{2}\)
Dar derivaciones de las siguientes fórmulas:
-
\(\lforall{x}{\lforall{y}{((\eq[x][y] \land A(x)) \lif A(y))}}\)
-
\(\lexists{x}{A(x)} \land \lforall{y}{\lforall{z}{((A(y) \land A(z)) \lif \eq[y][z])}} \lif \lexists{x}{(A(x) \land \lforall{y}{(A(y) \lif \eq[y][x])})}\)