4.4: Aplicaciones de Sistemas Lineales

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En esta sección creamos y resolvemos aplicaciones que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. A medida que creamos y resolvemos nuestros modelos, seguiremos los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word del Capítulo 2, Sección 5. Sin embargo, en lugar de establecer una sola ecuación, establecemos un sistema de ecuaciones para cada aplicación.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

En geometría, dos ángulos que suman a$90^{\circ}$ se denominan ángulos complementarios. Si el segundo de los dos ángulos complementarios es$30^{\circ}$ mayor que el doble del primer ángulo, encuentre la medida de grado de ambos ángulos.

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

Configura un Diccionario de Variables. Nuestro diccionario de variables tomará la forma de un diagrama, nombrando los dos ángulos complementarios$\alpha$ y$β$.

$fig 4.4.a.png$

Establecer un Sistema de Ecuaciones. El “segundo ángulo es$30$ grados mayor que el doble del primer ángulo” se convierte\[\beta=30+2 \alpha \label{Eq4.4.1}\] En segundo lugar, los ángulos son complementarios, es decir, que la suma de los ángulos es$90^{\circ}$. \[\alpha+\beta=90 \label{Eq4.4.2}\]Así, tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas$\alpha$ y$β$.
Resolver el Sistema. Como la Ecuación\ ref {Eq4.4.1} ya está resuelta para$β$, utilicemos el método de sustitución y$30 + 2α$ sustituya$β$ en la Ecuación\ ref {Eq4.4.2}. \[\begin{aligned} \alpha+\beta &= 90 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.2} \\ \alpha+(30+2 \alpha) &= 90 \quad \color {Red} \text { Substitute } 30+2 \alpha \text { for } \beta \\ 3 \alpha+30 &= 90 \quad \color {Red} \text { Combine like terms. } \\ 3 \alpha &= 60 \quad \color {Red} \text { Subtract } 30 \text { from both sides. } \\ \alpha &= 20 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 3 \end{aligned} \nonumber \]
Responda a la Pregunta. El primer ángulo es$α = 20$ grados. El segundo ángulo es:\[\begin{aligned} \beta &= 30+2 \alpha \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.4.1} \\ \beta &= 30+2(20) \quad \color {Red} \text { Substitute } 20 \text { for } \alpha \\ \beta &=70 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]
Mira hacia atrás. Ciertamente$70^{\circ}$ es$30^{\circ}$ más grande que dos veces$20^{\circ}$. También, tenga en cuenta que$20^{\circ}+70^{\circ}=90^{\circ}$, por lo que los ángulos son complementarios. Tenemos la solución correcta.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Si el segundo de los dos ángulos complementarios es$6^{\circ}$ mayor$3$ times the que el primer ángulo, encuentre la medida de grado de ambos ángulos.

Contestar: $21$y$69$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

El perímetro de un rectángulo es$280$ pies. La longitud del rectángulo es$10$ pies menos del doble del ancho. Encuentra el ancho y largo del rectángulo.

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

Configura un Diccionario de Variables. Nuestro diccionario de variables tomará la forma de un diagrama, nombrando la anchura y la longitud$W$ y$L$, respectivamente.

$fig 4.4.b.png$

Establecer un Sistema de Ecuaciones. El perímetro se encuentra sumando los cuatro lados del rectángulo. \[\begin{array}{l}{P=L+W+L+W} \\ {P=2 L+2 W}\end{array} \nonumber\]Nos dicen que el perímetro es$280$ pies, así podemos sustituirlo$280$$P$ en la última ecuación. \[280=2 L+2 W \nonumber \]Podemos simplificar esta ecuación dividiendo ambos lados por$2$, dando el siguiente resultado:\[L+W=140 \nonumber \] En segundo lugar, se nos dice que el “largo es$10$ pies menos del doble de ancho”. Esto se traduce en:\[L=2 W-10 \nonumber \] Así, el sistema que necesitamos resolver es:\[L+W=140 \label{Eq4.4.3} \]\[L=2 W-10 \label{Eq4.4.4} \]
Resolver el Sistema. Como la Ecuación\ ref {Eq4.4.4} ya está resuelta para$L$, utilicemos el método de sustitución y$2W −10$ sustituya$L$ en la Ecuación\ ref {Eq4.4.3}. \[\begin{aligned} W+L &= 140 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.3} \\ W+(2 W-10) &= 140 \quad \color {Red} \text { Substitute } 2 W-10 \text { for } L \\ 3 W-10 &= 140 \quad \color {Red} \text { Combine like terms. } \\ 3 W &= 150 \quad \color {Red} \text { Add } 10 \text { to both sides. } \\ W &= 50 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 3 \end{aligned} \nonumber \]
Responda a la Pregunta. El ancho es$W = 50$ pies. La longitud es:\[\begin{aligned} L &= 2W-10 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.4} \\ L &= 2(50)-10 \quad \color {Red} \text { Substitute } 50 \text { for } W. \\ L &= 90 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \] Así, la longitud es$L = 90$ pies.
Mira hacia atrás. Quizás una imagen, etiquetada con nuestras respuestas, podría demostrar mejor que tenemos la solución correcta. Recuerden, encontramos que el ancho era$50$ pies y el largo era$90$ pies.

$fig 4.4.c.png$

Tenga en cuenta que el perímetro es$P = 90 + 50 + 90 + 50 = 280$ pies. En segundo lugar, tenga en cuenta que el largo$90$$10$ pies es pies menos del doble del ancho. Entonces tenemos la solución correcta.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

El perímetro de un rectángulo es$368$ meters. The length of the rectangle is $34$ meters more than twice the width. Find the width and length of the rectangle.

Contestar: largo$=134$, ancho$=50$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Pascal tiene$\$3.25$ en cambio en el bolsillo, todo en monedas de diez centavos y cuartos. Tiene$22$ monedas en todos. ¿Cuántas monedas de diez centavos tiene?

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

Configura un Diccionario de Variables. Dejar$D$ representar el número de monedas de diez centavos y dejar$Q$ representar el número de trimestres.

Establecer un Sistema de Ecuaciones. Usar una tabla para resumir información es una buena estrategia. En la primera columna, enumeramos el tipo de moneda. La segunda columna da el número de cada tipo de moneda, y la tercera columna contiene el valor (en centavos) del número de monedas en el bolsillo de Pascal.

	Cantidad de Monedas	Valor (en centavos)
Dimes	$D$	$10D$
Cuartos	$Q$	$25Q$
Totales	$22$	$325$

Tenga en cuenta que los$D$ tiempos, valorados en$10$ centavos cada uno, valen$10D$ centavos. De igual manera, los$Q$ cuartos, valorados en$25$ centavos cada uno, valen$25Q$ centavos. Tenga en cuenta también cómo hemos cambiado$\$3.25$ a$325$ centavos. La segunda columna de la tabla nos da nuestra primera ecuación. \[D+Q=22 \label{Eq4.4.5}\]La tercera columna de la tabla nos da nuestra segunda ecuación. \[10 D+25 Q=325 \label{Eq4.4.6}\]

Resolver el Sistema. Debido a que las ecuaciones\ ref {Eq4.4.5} y\ ref {Eq4.4.6} están ambas en forma estándar$Ax + By = C$, usaremos el método de eliminación para encontrar una solución. Debido a que la pregunta nos pide encontrar el número de monedas de diez centavos en el bolsillo de Pascal, nos enfocaremos en eliminar los$Q$ términos y mantener los$D$ términos. \[\begin{aligned} -25 D-25 Q &=-550 \quad {\color {Red} \text {Multiply equation }} \ref{Eq4.4.5} \color {Red} \text { by } -25\\ 10 D+25 Q &=325 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.6}\\ \hline-15 D\quad\qquad &=-225 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]Dividir ambos lados de la última ecuación por nos$−15$ da$D = 15$.
Responda a la Pregunta. La solución anterior nos dice que Pascal tiene monedas de$15$ diez centavos en el bolsillo.

Mira hacia atrás. Nuevamente, resumir los resultados en una tabla podría ayudarnos a ver si tenemos la solución correcta. Primero, porque nos dicen que Pascal tiene$22$ monedas en todas, y encontramos que tenía monedas de$15$ diez centavos, esto quiere decir que debe tener$7$ cuartos.

	Cantidad de Monedas	Valor (en centavos)
Dimes	$15$	$150$
Cuartos	$7$	$175$
Totales	$22$	$325$

Quince monedas de diez$150$ centavos valen centavos, y los$7$ cuartos valen$175$ centavos. Eso es un total de$22$ monedas y$325$ centavos, o$\$3.25$. Así tenemos la solución correcta.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Eloise tiene$\$7.10$ in change in her pocket, all in nickels and quarters. she has $46$ coins in all. How many quarters does she have?

Contestar: $24$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Rosa hereda$\$10,000$ y decide invertir el dinero en dos cuentas, una porción en un certificado de depósito que paga$4\%$ intereses por año, y el resto en un fondo mutuo que paga$5\%$ por año. Al cierre del primer año, las inversiones de Rosa ganan un total$\$420$ de intereses. Encuentra la cantidad invertida en cada cuenta.

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

Configura un Diccionario de Variables. Dejar$C$ representar el monto invertido en el certificado de depósito y$M$ representar el monto invertido en el fondo mutuo.

Establecer un Sistema de Ecuaciones. Nuevamente utilizaremos una tabla para resumir la información.

	Tarifa	Monto invertido	Interés
Certificado de Depósito	$4\%$	$C$	$0.04C$
Fondo Mutuo	$5\%$	$M$	$0.05M$
Totales		$10,000$	$420$

At$4\%$, los intereses devengados por una inversión en$C$ dólares se encuentran tomando$4\%$ de$C$ (es decir,$0.04C$). De igual manera, los intereses devengados sobre el fondo mutuo lo son$0.05M$. La tercera columna de la tabla nos da nuestra primera ecuación. La inversión total es$\$10,000$. \[C+M=10000 \nonumber \]La cuarta columna de la tabla nos da nuestra segunda ecuación. El interés total devengado es la suma de los intereses devengados en cada cuenta. \[0.04 C+0.05 M=420 \nonumber \]Vamos a borrar los decimales de la última ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por$100$. \[4 C+5 M=42000 \nonumber \]Así, el sistema que necesitamos resolver es:\[C+M=10000 \label{Eq4.4.7}\]\[4 C+5 M=42000 \label{Eq4.4.8}\]

Resolver el Sistema. Debido a que las ecuaciones\ ref {Eq4.4.7} y\ ref {Eq4.4.8} están ambas en forma estándar$Ax + By = C$, usaremos el método de eliminación para encontrar una solución. Nos enfocaremos en eliminar los$C$ términos. \[\begin{aligned} -4C-4M &=-40000 \quad {\color {Red} \text {Multiply equation }} \ref{Eq4.4.7} \color {Red} \text { by } -4\\ 4C+5M &=\;\;\;42000 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.8}\\ \hline-15 M &=\;\quad2000 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]Así, el monto invertido en el fondo mutuo en$M = \$2 ,000$.
Responda a la Pregunta. La pregunta nos pide encontrar el monto invertido en cada cuenta. Entonces, sustituya$M = 2000$ en la Ecuación\ ref {Eq4.4.7} y resuelva para$C$. \[\begin{aligned} C+M &=10000 \quad {\color {Red} \text {Equation }} \ref{Eq4.4.7}\\ C+2000 &=10000 \quad \color {Red} \text { Substitute 2000 for M }\\ C &=\;\;8000 \quad \color {Red} \text {Subtract 2000 from both sides.} \end{aligned} \nonumber \]Así$C = \$8 ,000$ se invirtió en el certificado de depósito.

Mira hacia atrás. Primero, señalar que las inversiones en el certificado de depósito y el fondo mutuo,$\$8,000$ y$\$2,000$ respectivamente, totalizan$\$10,000$. Calculemos el interés de cada inversión:$4\%$ de$\$8,000$ es$\$320$ y$5\%$ de$\$2,000$ es$\$100$.

	Tarifa	Monto invertido	Interés
Certificado de Depósito	$4\%$	$8,000$	$320$
Fondo Mutuo	$5\%$	$2,000$	$100$
Totales		$10,000$	$420$

Tenga en cuenta que el interés total es$\$420$, como se requiere en la declaración del problema. Así, nuestra solución es correcta.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Eileen hereda$\$40,000$ and decides to invest the money in two accounts, part in a el certificado de depósito que paga$3\%$ interest per year, and the rest in a mutual fund that pays $6\%$ per year. At the end of the el primer año, sus inversiones ganan un total de$\$2,010$ in interest. Find the amount invested in each account.

Contestar: $\$13,000$en el certificado de depósito,$\$27,000$ en el fondo mutuo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

El maní se vende al$\$0.50$ por libra y el costo de los anacardos$\$1.25$ por libra. Si eras dueño de una tienda, ¿cuántas libras de maní y anacardos debes mezclar para hacer$50$ libras de una mezcla de maní y anacardos que cuestan$\$0.95$ por libra?

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

Configura un Diccionario de Variables. Dejar$P$ ser el número de libras de cacahuetes utilizados y dejar$C$ ser el número de libras de anacardos utilizados.

Establecer un Sistema de Ecuaciones. Nuevamente utilizaremos una tabla para resumir la información.

	Costo por libra	Cantidad (libras)	Costo
Cacahuetes	$\$0.50$	$P$	$0.50P$
Anacardo	$\$1.25$	$C$	$1.25C$
Totales	$\$0.95$	$50$	$0.95(50)=47.50$

A$\$0.50$ por libra, cuestan$P$ libras de maní$0.50P$. A$\$1.25$ por libra, cuestan$C$ libras de anacardos$1.25C$. Por último, a$\$0.95$ por libra, costarán$50$ libras de una mezcla de cacahuetes y anacardos$0.95(50)$, o$\$47.50$. La tercera columna de la tabla nos da nuestra primera ecuación. El número total de libras de mezcla viene dado por la siguiente ecuación:\[P+C=50 \nonumber \] La cuarta columna de la tabla nos da nuestra segunda ecuación. El costo total es la suma de los costos de compra de los cacahuetes y anacardos. \[0.50 P+1.25 C=47.50 \nonumber \]Vamos a borrar los decimales de la última ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por$100$. \[50 P+125 C=4750 \nonumber \]Así, el sistema que necesitamos resolver es:\[P+C=50 \label{Eq4.4.9}\]\[50 P+125 C=4750 \label{Eq4.4.10}\]

Resuelve el Sistema. Debido a que las ecuaciones\ ref {Eq4.4.9} y\ ref {Eq4.4.10} están ambas en forma estándar$Ax + By = C$, usaremos el método de eliminación para encontrar una solución. Nos enfocaremos en eliminar los$P$ términos. \[\begin{aligned} -50P-50C &=-2500 \quad {\color {Red} \text {Multiply equation }} \ref{Eq4.4.9} \color {Red} \text { by } -50\\ 50P+125C &=\;\;\;4750 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.10}\\ \hline 75C &=\quad2250 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]Dividir ambos lados por$75$ para obtener$C = 30$ libras de anacardos están en la mezcla.
Responda a la Pregunta. La pregunta pregunta por ambas cantidades, cacahuetes y anacardos. Sustituir$C = 30$ en la Ecuación\ ref {Eq4.4.9} para determinar$P$. \[\begin{aligned} P+C &=50 \quad {\color {Red} \text {Equation }} \ref{Eq4.4.9}\\ C+30 &=50 \quad \color {Red} \text { Substitute 30 for C }\\ P &=20 \quad \color {Red} \text {Subtract 30 from both sides.} \end{aligned} \nonumber\]Así, hay$P = 20$ libras de cacahuetes en la mezcla.

Mira hacia atrás. Primero, tenga en cuenta que la cantidad de cacahuetes y anacardos en la mezcla es$20$ y$30$ libras respectivamente, por lo que la mezcla total pesa$50$ libras según se requiera. Calculemos los costos: para los cacahuetes,$0.50(20)$, o$\$10$, para los anacardos,$1.25(30) = 37.50$.

	Costo por libra	Cantidad (libras)	Costo
Cacahuetes	$\$0.50$	$20$	$\$10.00$
Anacardo	$\$1.25$	$30$	$\$37.50$
Totales	$\$0.95$	$50$	$\$47.50$

Tenga en cuenta que el costo total es$\$47.50$, como se requiere en el estado de cuenta del problema. Así, nuestra solución es correcta.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Una tienda vende cacahuetes para$\$4.00$ per pound and pecans for $\$7.00$ per pound. How many pounds of peanuts and how many pounds of pecans should you mix to make a $25$-lb mixture costing $\$5.80$ per pound?

Contestar: $10$libras de maní,$15$ libras de pacanas

	Cantidad de Monedas	Valor (en centavos)
Dimes	\(D\)	\(10D\)
Cuartos	\(Q\)	\(25Q\)
Totales	\(22\)	\(325\)

	Cantidad de Monedas	Valor (en centavos)
Dimes	\(15\)	\(150\)
Cuartos	\(7\)	\(175\)
Totales	\(22\)	\(325\)

	Tarifa	Monto invertido	Interés
Certificado de Depósito	\(4\%\)	\(C\)	\(0.04C\)
Fondo Mutuo	\(5\%\)	\(M\)	\(0.05M\)
Totales		\(10,000\)	\(420\)

	Tarifa	Monto invertido	Interés
Certificado de Depósito	\(4\%\)	\(8,000\)	\(320\)
Fondo Mutuo	\(5\%\)	\(2,000\)	\(100\)
Totales		\(10,000\)	\(420\)

	Costo por libra	Cantidad (libras)	Costo
Cacahuetes	\(\$0.50\)	\(P\)	\(0.50P\)
Anacardo	\(\$1.25\)	\(C\)	\(1.25C\)
Totales	\(\$0.95\)	\(50\)	\(0.95(50)=47.50\)

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	Costo por libra	Cantidad (libras)	Costo
Cacahuetes	\(\$0.50\)	\(20\)	\(\$10.00\)
Anacardo	\(\$1.25\)	\(30\)	\(\$37.50\)
Totales	\(\$0.95\)	\(50\)	\(\$47.50\)