1.30: Resolver un Sistema de Ecuaciones Gráficamente

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Page ID: 108459

Samar ElHitti, Marianna Bonanome, Holly Carley, Thomas Tradler, and Lin Zhou
CUNY New York City College of Technology and NYC College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

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Vimos en el Capítulo 27 cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales algebraicamente (por sustitución y por eliminación). Ya que sabemos que las gráficas de ecuaciones lineales son líneas, es natural graficar las líneas que representan nuestro sistema y observar dónde están unas con respecto a otras en el plano de coordenadas. Solo hay tres configuraciones posibles: las líneas se cruzan en un solo punto, las líneas coinciden, las líneas son paralelas. Encontrar esta intersección (si es posible) equivale a resolver el sistema lineal.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Considera el Ejemplo 27.1 del Capítulo 27.

\ [\ left (\ begin {array} {lllll}
6 x & + & 2 y & = & 72\\
3 x & + & 8 y & = & 78
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

La solución que encontramos (por sustitución) fue$x=10$ y$y=6$.

Para resolver este sistema graficando, comenzamos por graficar cada una de las ecuaciones lineales dadas.

Primero, graficamos$6 x+2 y=72$. Recuerden, nos encontramos con dos puntos:

\[x=0 \quad \Longrightarrow \quad y=36\nonumber\]

\[y=0 \quad \Longrightarrow \quad x=12\nonumber\]

Del mismo modo,$3 x+8 y=78$ graficamos encontrando dos puntos en esta línea:

\[x=2 \quad \Longrightarrow \quad y=9\nonumber\]

\[y=3 \quad \Longrightarrow \quad x=18\nonumber\]

Las líneas están graficadas en el mismo sistema de coordenadas que se muestra a continuación.

$imageedit_17_7405436324.png$

Las coordenadas del punto de intersección de las dos gráficas son la solución del sistema. Observe a partir de la gráfica que$y$ las coordenadas$x$ y del punto de intersección son$x=10$ y$y=6$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Resuelve graficando:

\ [\ left (\ begin {array} {lllll}
x & + & y & = & 7\\
5 x & + & 10 y & = & 40
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Paso 1 Grafica ambas líneas:

\ [\ begin {align*}
x+y=7:\ quad & x=0, y=7\\
& y=0, x=7
\ end {align*}\ nonumber\]

\ [\ begin {align*}
5x + 10y = 40:\ quad & x = 0, y = 4\\
& y = 0, x = 8
\ end {align*}\ nonumber\]

$imageedit_20_6483886603.png$

Paso 2 Lee las coordenadas del punto de intersección:

\[x=6, y=1\nonumber\]

Paso 3 La solución del sistema es$x=6, y=1$.

Observación 28.3

Si las gráficas de las dos líneas no tienen un punto de intersección, entonces el sistema no tiene solución.
Si las gráficas de las líneas coinciden, entonces el sistema tiene infinitamente muchas soluciones.

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante gráficos

Paso 1: Grafica cada ecuación lineal en el mismo sistema de coordenadas.
Paso 2: Etiquete el punto de intersección en la gráfica (si hay alguno).
Paso 3: Leer las coordenadas del punto de intersección (si es posible). Si las líneas coinciden, cada punto en ellas se considera un punto de intersección.
Paso 4: Dependiendo del Paso 3, indica si el sistema no tiene solución (las líneas son paralelas), infinitamente muchas soluciones (líneas coinciden) o una solución (punto de intersección único).

Problema de salida

Resolver gráficamente:

\ (\ begin {array} {lllll}
8 x & - & 4 y & = & 4\\
3 x & - & 2 y & = & 3
\ end {array}\)

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