11.5: Ejercicios Adicionales- Automorfismos
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
\(\operatorname{Aut}(G)\)Sea el conjunto de todos los automorfismos de\(G\text{;}\) eso es, isomorfismos de\(G\) a sí mismo. Demostrar que este conjunto forma un grupo y es un subgrupo del grupo de permutaciones de es\(G\text{;}\) decir,\(\operatorname{Aut}(G) \leq S_G\text{.}\)
Un automorfismo interno de\(G\text{,}\)
\[ i_g : G \rightarrow G\text{,} \nonumber \]
está definido por el mapa
\[ i_g(x) = g x g^{-1}\text{,} \nonumber \]
para\(g \in G\text{.}\) Demostrar que\(i_g \in \operatorname{Aut}(G)\text{.}\)
El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por\(\operatorname{Inn}(G)\text{.}\) Show que\(\operatorname{Inn}(G)\) es un subgrupo de\(\operatorname{Aut}(G)\text{.}\)
Encuentra un automorfismo de un grupo\(G\) que no sea un automorfismo interno.
Dejar\(G\) ser un grupo y\(i_g\) ser un automorfismo interno de\(G\text{,}\) y definir un mapa
\[ G \rightarrow \operatorname{Aut}(G) \nonumber \]
por
\[ g \mapsto i_g\text{.} \nonumber \]
Demostrar que este mapa es un homomorfismo con imagen\(\operatorname{Inn}(G)\) y kernel\(Z(G)\text{.}\) Usa este resultado para concluir que
\[ G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G)\text{.} \nonumber \]
Compute\(\operatorname{Aut}(S_3)\) y\(\operatorname{Inn}(S_3)\text{.}\) haga lo mismo para\(D_4\text{.}\)
Encuentra todos los homomorfismos\(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\text{.}\) Qué es\(\operatorname{Aut}({\mathbb Z})\text{?}\)
Encuentra todos los automorfismos de\({\mathbb Z}_8\text{.}\) Probarlo\(\operatorname{Aut}({\mathbb Z}_8) \cong U(8)\text{.}\)
Para\(k \in {\mathbb Z}_n\text{,}\) definir un mapa\(\phi_k : {\mathbb Z}_n \rightarrow {\mathbb Z}_n\) por\(a \mapsto ka\text{.}\) Demostrar que\(\phi_k\) es un homomorfismo.
Demostrar que\(\phi_k\) es un isomorfismo si y solo si\(k\) es un generador de\({\mathbb Z}_n\text{.}\)
Demostrar que cada automorfismo de\({\mathbb Z}_n\) es de la forma\(\phi_k\text{,}\) donde\(k\) es un generador de\({\mathbb Z}_n\text{.}\)
Demostrar que\(\psi : U(n) \rightarrow \operatorname{Aut}({\mathbb Z}_n)\) es un isomorfismo, donde\(\psi : k \mapsto \phi_k\text{.}\)