16.2: Ejercicios de salvia
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
Definir los dos anillos\({\mathbb Z}_{11}\) y\({\mathbb Z}_{12}\) con los comandos R = Enteros (11) y S = Enteros (12). Para cada anillo, utilice el comando relevante para determinar: si el anillo es finito, si es conmutativo, si es un dominio integral y si es un campo. Luego use comandos Sage individuales para encontrar el orden del anillo, enumerar los elementos y generar la identidad multiplicativa (es decir,\(1\text{,}\) si existe).
Define R para que sea el anillo de enteros,\({\mathbb Z}\text{,}\) ejecutando R = ZZ o R = Enteros (). Un comando como R.ideal (4) creará el ideal principal\(\langle 4\rangle\text{.}\) El mismo comando puede aceptar más de un generador, así por ejemplo, R.ideal (3, 5) creará el ideal\(\{a\cdot 3+ b\cdot 5\mid a,b\in{\mathbb Z}\}\text{.}\) Crea varios ideales de\({\mathbb Z}\) con dos generadores y pide a Sage que imprima cada uno a medida que creas ello. Explica lo que observas y luego crea un código que pondrá a prueba tu observación para miles de ejemplos diferentes.
Crea un campo finito\(F\) de orden 81 con F. =Campo finito (3^4)<t>.
- Enumerar los elementos de\(F\text{.}\)
- Obtener los generadores de\(F\) con
F.gens (). - Obtener el primer generador de\(F\) y guardarlo como
uconu = F.0(alternativamente,u = F.gen (0)). - Calcular los primeros 80 poderes de
uy comentar. - El generador con el que has trabajado arriba es una raíz de un polinomio sobre\({\mathbb Z}_3\text{.}\) Obtén este polinomio con
F.modulus ()y utiliza esta observación para explicar la entrada en tu lista de potencias que es la cuarta potencia del generador.
Construya y analice un anillo de cociente de la siguiente manera:
- Use
P. =Enteros (7) []<z>para construir un anillo\(P\) de polinomios en\(z\) con coeficientes de\({\mathbb Z}_7\text{.}\) - Usa
K = P.Ideal (z^2+z+3)para construir un ideal principal\(K\) generado por el polinomio\(z^2+z+3\text{.}\) - Usa
H = P.Quotient (K)para construir\(H\text{,}\) el anillo de cociente de\(P\) by\(K\text{.}\) - Usa Sage para verificar que\(H\) es un campo.
- Al igual que en el ejercicio anterior, obtener un generador y examinar la correcta recolección de poderes de ese generador.