1.4: Ejercicios
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
- Sí/No. Para cada una de las siguientes, escribe Y si el objeto descrito es un conjunto bien definido; de lo contrario, escribe N. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema.
- \(\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z|=1\}\)
- \(\{\epsilon \in \mathbb{R}^+\,:\, \epsilon \mbox{ is sufficiently small} \}\)
- \(\{q\in \mathbb{Q} \,:\, q \mbox{ can be written with denominator } 4\}\)
- \(\{n \in \mathbb{Z}\,:\, n^2 \lt 0\}\)
- Enumere los elementos en los siguientes conjuntos, escribiendo sus respuestas como conjuntos.
Ejemplo:\(\{z\in \mathbb{C}\,:\,z^4=1\}\) Solución:\(\{\pm 1, \pm i\}\)
- \(\{z\in \mathbb{R}\,:\, z^2=5\}\)
- \(\{m \in \mathbb{Z}\,:\, mn=50 \mbox{ for some } n\in \mathbb{Z}\}\)
- \(\{a,b,c\}\times \{1,d\}\)
- \(P(\{a,b,c\})\)
- Deja\(S\) ser un conjunto con cardinalidad\(n\in \mathbb{N}\text{.}\) Usa las cardinalidades de\(P(\{a,b\})\) y\(P(\{a,b,c\})\) para hacer una conjetura sobre la cardinalidad de No\(P(S)\text{.}\) necesitas probar que tu conjetura es correcta (pero debes tratar de asegurarte de que sea correcta).
4. \(f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}\)Déjese definir por\(f(a,b)=ab\text{.}\) (Nota: técnicamente, debemos escribir\(f((a,b))\text{,}\) no\(f(a,b)\text{,}\) ya que se\(f\) está aplicando a un par ordenado, sino este es uno de esos casos en los que los matemáticos abusan de la notación en aras de la concisión.)
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¿Cuáles son\(f\) el dominio, el codominio y el rango?
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Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones. (¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)
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\(f\)está sobre;
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\(f\)es 1-1;
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\(f\)es una biyección. (Puede referirse a las partes (i) y (ii) para esta parte.)
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Encuentra las imágenes del elemento\((6,-2)\) y del conjunto\(\mathbb{Z}^- \times \mathbb{Z}^-\) debajo\(f\text{.}\) (Recuerda que la imagen de un elemento es un elemento, y la imagen de un conjunto es un conjunto.)
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Encuentra la preimagen de\(\{2,3\}\) debajo\(f\text{.}\) (Recuerda que la preimagen de un conjunto es un conjunto.)
- Dejar\(S\text{,}\)\(T\text{,}\) y\(U\) ser conjuntos, y dejar\(f: S\to T\) y\(g: T\to U\) estar en. Demostrar que\(g \circ f\) está en.
- Dejar\(A \) y\(B\) ser conjuntos con\(|A|=m\lt \infty\) y\(|B|=n\lt \infty\text{.}\) Demostrar que\(|A\times B|=mn\text{.}\)