4.3: Ejercicios
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
- Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo, dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos.
- Cada grupo contiene al menos dos subgrupos distintos.
- Si\(H\) es un subgrupo propio de grupo\(G\) y\(G\) es finito, entonces debemos tener\(|H|\lt |G|\text{.}\)
- \(7\mathbb{Z}\)es un subgrupo de\(14\mathbb{Z}\text{.}\)
- Un grupo\(G\) puede tener dos subgrupos propios distintos que son isomórficos (entre sí).
2. Dar ejemplos específicos y precisos de los siguientes grupos\(G\) con subgrupos\(H\text{:}\)
- Un grupo\(G\) con un subgrupo adecuado\(H\) de\(G\) tal manera que\(|H|=|G|\text{.}\)
- Un grupo\(G\) de orden\(12\) que contiene un subgrupo\(H\) con\(|H|=3\text{.}\)
- Un grupo no abeliano\(G\) que contiene un subgrupo abeliano no trivial\(H\text{.}\)
- Un subgrupo finito\(H\) de un grupo infinito\(G\text{.}\)
3. Let\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\)
- Demostrar que\(n\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}\text{.}\)
- Demostrar que el conjunto\(H=\{A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\,:\,\det A=\pm 1\}\) es un subgrupo de\(GL(n,\mathbb{R})\text{.}\)
(Nota: ¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)
4. Dejar\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Para cada grupo\(G\) y subconjunto\(H\text{,}\) decidir si\(H\) es o no un subgrupo de\(G\text{.}\) En los casos en los que no\(H\) es un subgrupo de\(G\text{,}\) proporcionar una prueba. (Nota. ¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)
- \(G=\mathbb{R}\text{,}\)\(H=\mathbb{Z}\)
- \(G=\mathbb{Z}_{15}\text{,}\)\(H=\{0,5,10\}\)
- \(G=\mathbb{Z}_{15}\text{,}\)\(H=\{0,4,8,12\}\)
- \(G=\mathbb{C}\text{,}\)\(H=\mathbb{R}^*\)
- \(G=\mathbb{C}^*\text{,}\)\(H=\{1,i,-1,-i\}\)
- \(G=\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\text{,}\)\(H=GL(n,\mathbb{R})\)
- \(G=GL(n,\mathbb{R})\text{,}\)\(H=\{A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\,:\,\det A = -1\}\)
5. Let\(G\) and \(G'\) be groups, let \(\phi\) be a homomorphism from \(G\) to \(G'\text{,}\) and let \(H\) be a subgroup of \(G\text{.}\) Prove that \(\phi(H)\) is a subgroup of \(G'\text{.}\)
6. Dejemos\(G\) ser un grupo abeliano, y vamos a\(U=\{g\in G\,:\, g^{-1}=g\}.\) demostrar que\(U\) es un subgrupo de\(G\text{.}\)