5.3: Ejercicios
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, deja\(G\) ser un grupo con elemento de identidad\(e\text{.}\)
- Si\(G\) es infinito y cíclico, entonces\(G\) debe tener infinitamente muchos generadores.
- Puede haber dos elementos distintos\(a\) y\(b\) de un grupo\(G\) con\(\langle a\rangle =\langle b\rangle\text{.}\)
- Si\(a,b\in G\) y\(a\in \langle b\rangle\) entonces debemos tener\(b\in \langle a\rangle\text{.}\)
- Si\(a\in G\) con\(a^4=e\text{,}\) entonces\(o(a)\) debe ser igual\(4\text{.}\)
- Si\(G\) es contable entonces\(G\) debe ser cíclico.
2. Dar ejemplos de lo siguiente.
- Un grupo infinito no cíclico\(G\) que contiene un subgrupo cíclico infinito\(H\text{.}\)
- Un grupo infinito no cíclico\(G\) que contiene un subgrupo cíclico finito no trivial\(H\text{.}\)
- Un grupo cíclico\(G\) que contiene exactamente\(20\) elementos.
- Un grupo cíclico no trivial\(G\) cuyos elementos son todos matrices.
- Un grupo no cíclico\(G\) tal que cada subgrupo apropiado de\(G\) es cíclico.
3. Encuentra los órdenes de los siguientes elementos en los grupos dados.
- \(2\in \mathbb{Z}\)
- \(-i\in \mathbb{C}^*\)
- \(-I_2\in GL(2,\mathbb{R})\)
- \(-I_2\in \mathbb{M}_2(\mathbb{R})\)
- \((6,8)\in \mathbb{Z}_{10}\times \mathbb{Z}_{10}\)
4. Para cada uno de los siguientes, si el grupo es cíclico, enumere todos sus generadores. Si el grupo no es cíclico, escriba NC.
- \(5\mathbb{Z}\)
- \(\mathbb{Z}_{18}\)
- \(\mathbb{R}\)
- \(\langle \pi\rangle\)en\(\mathbb{R}\)
- \(\mathbb{Z}_2^2\)
- \(\langle 8\rangle\)en\(\mathbb{Q}^*\)
5. Identificar explícitamente los elementos de los siguientes subgrupos de los grupos dados. Puede usar notación set-builder si el subgrupo es infinito, o un nombre convencional para el subgrupo si tenemos uno.
- \(\langle 3\rangle\)en\(\mathbb{Z}\)
- \(\langle i\rangle\)en\(C^*\)
- \(\langle A\rangle\text{,}\)para\(A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\in \mathbb{M}_2(\mathbb{R})\)
- \(\langle (2,3)\rangle\)en\(\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_5\)
- \(\langle B\rangle\text{,}\)para\(B=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right]\in GL(2,\mathbb{R})\)
6. Dibujar celosías de subgrupos para los siguientes grupos
- \(\mathbb{Z}_{6}\)
- \(\mathbb{Z}_{13}\)
- \(\mathbb{Z}_{18}\)
7. \(G\)Sea un grupo sin subgrupos propios no triviales. Demostrar que\(G\) es cíclico.