6.3: Grupos alternos

Tenga en cuenta que cada\(k\) ciclo\((a_1a_2\ldots a_k)\in S_n\) puede escribirse como un producto de transposiciones (no necesariamente disjuntas):

\ begin {ecuación*} (a_1a_2\ lpuntos a_k) = (a_1a_k) (a_1a_ {k-1})\ cdots (a_1a_3) (a_1a_2). \ end {ecuación*}

Nosotros, por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Cada permutación en\(S_n\) puede escribirse como un producto de transposiciones.

Definición: par e impar

Decimos que una permutación en\(S_n\) es par [resp., impar] si puede escribirse como producto de un número par [resp., impar] de transposiciones.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Toda permutación en\(S_n\) es par o impar, pero no ambas.

Prueba

Ya sabemos que toda permutación en\(S_n\) es producto de transposiciones, por lo que debe ser par o impar. Para probar que ninguna permutación es par e impar, véase, por ejemplo, la Prueba 1 o 2 del Teorema 9.15 en la p. 91 en [1].

Lema\(\PageIndex{1}\)

Para cada uno\(2\leq k\leq n\text{,}\) entonces un\(k\) -ciclo es par si\(k\) es impar, e impar si\(k\) es par.

La prueba de ello se deja como un ejercicio para el lector.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

En\(S_3\text{,}\) las permutaciones\(e\text{,}\)\((123)=(13)(12)\text{,}\) y\((132)=(12)(13)\) son pares, mientras que las permutaciones\((12)\text{,}\)\((13)\text{,}\) y\((23)\) son impares.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Enumere todas las permutaciones pares [resp., impar] en\(S_4\text{.}\)

Tenemos el siguiente teorema, cuya prueba se deja como ejercicio para el lector.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

El conjunto de todas las permutaciones pares en\(S_n\) es un subgrupo de\(S_n\text{.}\)

Definición: Grupo Alternativo

El grupo alterno en\(n\) letras es el subgrupo\(S_n\) que\(A_n\) consiste en todas las permutaciones pares en\(S_n\text{.}\)

Terminamos con este teorema, cuya prueba se puede encontrar en la p. 93 de [1].

Teorema\(\PageIndex{4}\)

\(|A_n|= \dfrac{(n!)}{2} \text{.}\)