5.1: Sistema de Ecuaciones Lineales
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En este curso pasaremos mucho tiempo trabajando con sistemas de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal está en la forma:
\[a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \ldots + a_nx_n = b \nonumber \]
Donde\(a_1,a_2,a_3, \ldots a_n\) y\(b\) son constantes conocidas y\(x_1,x_2,x_3, \ldots x_n \) son valores desconocidos. Normalmente tenemos sistemas de ecuaciones con diferentes valores de\(a\) s y\(b\) s pero las incógnitas son las mismas. Por ejemplo. Considera el ejemplo de ecuaciones lineales en el siguiente video.
Mira el video y sígalo en el cuaderno.
Giselle trabaja como carpintero y como herrero. Ella gana 20 dólares por hora como carpintera y 25 dólares por hora como herrero. La semana pasada, Giselle trabajó ambos trabajos por un total de 30 horas, y obtuvo un total de 690 dólares. ¿Cuánto tiempo trabajó Giselle como carpintera la semana pasada y cuánto tiempo trabajó como herrero?
Este problema nos da dos ecuaciones y dos incógnitas:
\[ c + b = 30 \nonumber \]
\[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]
¿Cómo resolveríamos esto en álgebra lineal?
\[ c + b = 30 \nonumber \]
\[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]
Primero, podemos multiplicar la primera ecuación por -20 y sumar a la segunda ecuación. Esto a menudo se llama una “combinación lineal” de las dos ecuaciones. La operación no cambia la respuesta:
\[ -20c - 20b = -600 \nonumber \]
\[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]
\[---- \nonumber \]
\[ 0c + 5b = 90 \nonumber \]
Este es nuestro nuevo sistema de ecuaciones:\(c+b=300c+5b=90\)
Ahora podemos dividir fácilmente la segunda ecuación por 5 y obtener el valor de\(b\):
\[b = 90/5 = 18 \nonumber \]
Si sustituimos 18 por\(b\) en la primera ecuación obtenemos:\(c+18=30\)
Y resolviendo para nos\(c\) da\(c\) =30−18=12. Comprobemos si esto funciona sustituyendo\(c\) =18 y\(c\) =12 en nuestras ecuaciones originales:
\[ 12 + 18 = 30 \nonumber \]
\[ 20(12) + 25(18) = 690 \nonumber \]
Comprobemos la respuesta usando Python:
El video anterior describió tres (3) operadores elementales que pueden ser aplicados a un sistema de ecuaciones lineales y no cambiar su respuesta. ¿Cuáles son estos tres operadores?