37.4: Inverso de una matriz
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
- Recordemos los cuatro subespacios fundamentales de una\(m \times n\) matriz\(A\)
- El espacio de filas y el espacio nullspace de\(A\) in\(R^n\)
- El espacio de columnas y el espacio nulo de\(A^{\top}\) in\(R^m\)
- El inverso de dos lados nos da lo siguiente\( {A}{A}^{-1}=I={A}^{-1}{A} \)
- Para ello necesitamos\(r = m = n\), aquí\(r\) está el rango de la matriz.
- Para un inverso a la izquierda, tenemos lo siguiente
- Rango de columna completo, con\(r = n \leq m\) (pero posiblemente más filas)
- El espacio nulo contiene solo el vector cero (las columnas son independientes)
- Las filas podrían no ser todas independientes
- Por lo tanto, no tenemos o sólo una única solución para\(Ax=b\).
- \(A^{\top}\)ahora también tendrá rango de fila completa
- De\((A^\top A)^{-1}A^\top A = I\) ello se desprende el hecho de que\((A^\top A)^{-1}A^\top\) es un inverso del lado izquierdo
- Tenga en cuenta que\((A^\top A)^{-1}A^\top\) es una\(n \times m\) matriz y\(A\) es de tamaño\(m \times n\), su mulitiplicación\((A^\top A)^{-1}A^\top A\) da como resultado una matriz de\(n \times n\) identidad
- El\(A(A^\top A)^{-1}A^\top\) es una\(m \times m\) matriz. \(A(A^\top A)^{-1}A^\top\neq I\)PERO si\(m\neq n\). La matriz\(A(A^\top A)^{-1}A^\top\) es la matriz de proyección sobre el espacio de columna de\(A\).
Cuál es la matriz de proyección que proyecta cualquier vector sobre el subespacio abarcado por\([1,2]^{\top}\). (Qué matriz dará el mismo resultado que proyectar cualquier punto sobre el vector)\([1,2]^{\top}\).
Si\(m=n\), ¿el inverso izquierdo es lo mismo que el inverso?
Para una matriz\(A\) con\(r=n<m\), el columnespacio de\(A\) tiene dimensión\(r(=n)\). El transfrom lineal\(A: R^n\mapsto R^m\) es uno a uno. Además, la transformación lineal\(A\) de\(R^n\) al columnespacio de\(A\) es uno a uno y hacia (significa que para cualquier elemento en el columnespacio de\(A\), podemos encontrar\(x\) en\(R^n\) tal que sea igual\(Ax\).) Entonces el inverso izquierdo de\(A\) es un mapeo uno a uno desde el espacio de columnas de\(A\) a\(R^n\), y puede considerarse como una transformada inversa de\(A\).