40.1: Sistemas lineales
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
En este curso, aprendimos a representar sistemas lineales que básicamente consisten en ecuaciones sumadas de múltiples números en la forma:
\[b = a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 + \ldots a_mx_m \nonumber \]
Los sistemas de ecuaciones lineales son múltiples ecuaciones de la forma anterior con básicamente las mismas incógnitas pero diferentes valores de\(a\) y\(b\).
\[b_1 = a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 + \ldots a_{1n}x_n \nonumber \]
\[b_2 = a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 + \ldots a_{2n}x_n \nonumber \]
\[b_3 = a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 + \ldots a_{3n}x_n \nonumber \]
\[\vdots \nonumber \]
\[b_m = a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3 + \ldots a_{mn}x_n \nonumber \]
Las ecuaciones anteriores se pueden representar en forma de matriz de la siguiente manera:
\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
\ vdots\\
b_m
\ end {matrix}
\ right]
=
\ left [
\ comenzar {matriz}
a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {1n}\\
a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} &\ ldots & a_ {2n}\\
a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {3n}\\
& vdots &\ ddots &\ vdots\\
a_ {m1} & a_ {m2} & a_ {m3} & a_ {mn}
\ final {matriz}
\ derecha]
\ izquierda [
\ comenzar {matriz}
x_1\
x_2\\
x_3\
\ vdots\\
x_n
\ end {matriz}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]
Que también se puede representar en forma “aumentada” de la siguiente manera:
\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {1n}\\ a_ {21} &
a_ {22} & a_ {23} &\ ldots & a_ {2n}\\ a_ {31} &
a_ {32} & a_ {33} & a_ {33} y a_ {33} & a_ {3n}\\
&\ vdots & &\ ddots &\ vdots\\
a_ {m1} & a_ {m2} & a_ {m3} & a_ {mn}
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matriz}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
\ vdots\\
b_m
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]
Los sistemas anteriores se pueden modificar en sistemas equivelentes usando combinaciones de los siguientes operadores.
- Multiplicar cualquier fila de una matriz por una constante
- Agrega el contenido de una fila por otra fila.
- Intercambiar dos filas cualesquiera.
A menudo, el operador primero y segundo se pueden combinar donde una fila se multiplica por una constanet y luego se agrega (o resta) de otra fila.
Considera la matriz\(A= \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right]\). ¿Qué operadores puedes usar para poner la ecuación anterior en su forma de escalón de fila reducida?