6.3: Rangos

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Definición 6.3.1. Dejar\(T:V\to W \) ser un mapa lineal. El rango de\(T \), denotado por\(\range(T) \), es el subconjunto de vectores en los\(W \) que se encuentran en la imagen de\(T \). Es decir,

\[ \range(T) = \{ Tv \mid v\in V\} = \{ w\in W \mid \rm{~ there~ exists~} v \in V \rm{~ such~ that~} Tv=w\}.\]

Ejemplo 6.3.2. El rango del mapa de diferenciación\(T:\mathbb{F}[z] \to \mathbb{F}[z] \) es\(\range(T) =\mathbb{F}[z]\) ya que, para cada polinomio\(q\in \mathbb{F}[z] \), existe\(p\in \mathbb{F}[z] \) tal que\(p'=q \).

Ejemplo 6.3.3. El rango del mapa lineal\(T(x,y)=(x-2y,3x+y) \) es\(\mathbb{R}^2 \) ya que, para cualquiera\((z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2 \), tenemos\(T(x,y)=(z_1,z_2) \) si\((x,y)=\frac{1}{7}(z_1+2z_2,-3z_1+z_2) \).

Proposición 6.3.4. Dejar\(T:V\to W \) ser un mapa lineal. Entonces\(\range(T) \) es un subespacio de\(W \).

Comprobante.

Tenemos que demostrar eso\(0\in \range(T) \) y eso\(\range(T) \) se cierra bajo suma y multiplicación escalar. Ya lo demostramos\(T0=0 \) para que\(0\in \range(T) \).

Para cierre bajo adición, vamos\(w_1,w_2\in \range(T) \). Entonces existen\(v_1,v_2\in V\) tal que\(Tv_1=w_1 \) y\(Tv_2=w_2 \). De ahí
\ begin {ecuación*}
T (v_1+v_2) = Tv_1 + Tv_2 = w_1 + w_2,
\ end {ecuación*}
y así\(w_1+w_2\in \range(T) \).

Para cierre bajo multiplicación escalar, dejar\(w\in \range(T) \) y\(a\in \mathbb{F} \). Entonces existe\(v\in V \) tal que\(Tv=w \). Así
\ begin {ecuación*}
T (av) =ATV=AW,
\ end {ecuación*}
y así\(aw \in \range(T) \).

Definición 6.3.5. Un mapa lineal\(T:V\to W \) se llama suryectiva si\(\range(T)=W \). Un mapa lineal\(T:V\to W \) se llama biyective si\(T \) es tanto inyectivo como surytivo.

Ejemplo 6.3.6.

1. El mapa de diferenciación\(T:\mathbb{F}[z] \to \mathbb{F}[z] \) es suryectiva desde entonces\(\range(T) = \mathbb{F}[z] \). Sin embargo, si nos limitamos a polinomios de grado como máximo\(m \), entonces el mapa de diferenciación no\(T:\mathbb{F}_m[z] \to \mathbb{F}_m[z] \) es surytivo ya que los polinomios de grado no\(m \) están en elrango de\(T \).
2. El mapa de identidad\(I:V\to V \) es surytivo.
3. El mapa lineal\(T:\mathbb{F}[z] \to \mathbb{F}[z] \) dado por no\(T(p(z)) = z^2 p(z) \) es suryectiva ya que, por ejemplo, no hay polinomios lineales en el rango de\(T \).
4. El mapa lineal\(T(x,y)=(x-2y,3x+y) \) es suryectiva ya que\(\range(T)=\mathbb{R}^{2} \), como calculamos en el Ejemplo 6.3.3.

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