9.3: La diagonalización de una matriz simétrica
- Page ID
- 113133
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
Al elegir una base ortogonal\(\{q_{j,k} | 1 \le k \le n_{j}\}\) para cada uno\(\mathbb{R}(P_{j})\) y recopilar los vectores base en
\[Q_{j} = \begin{pmatrix} {q_{j,1}}&{q_{j,2}}&{\cdots}&{q_{j,n_{j}}} \end{pmatrix} \nonumber\]
Nos encontramos con que
\[P_{j} = Q_{j}Q_{j}^{T} = \sum_{k=1}^{n_{j}} q_{j,k}q_{j,k}^{T} \nonumber\]
Como resultado, la representación espectral toma la forma
\[B = \sum_{j=1}^{h} \lambda_{j}Q_{j}Q_{j}^{T} \nonumber\]
\[\sum_{j=1}^{h} \lambda_{j} \sum_{k=1}^{n_{j}} q_{j,k}q_{j,k}^{T} \nonumber\]
Esta es la representación espectral en quizás su vestimenta más detallada. ¡Existe, sin embargo, todavía otra forma! Es una forma que probablemente verá en futuros cursos de ingeniería y se logra ensamblando el\(Q_{j}\) en una sola matriz\(n-by-n\) ortonormal
\[Q = \begin{pmatrix} {Q_{1}}&{\cdots}&{Q_{h}} \end{pmatrix} \nonumber\]
Al tener columnas ortonormales se deduce que\(Q^{T}Q = I\). \(Q\)siendo cuadrado, se deduce además que\(Q^{T} = Q^{-1}\). Ahora,
\[Bq_{j,k} = \lambda_{j}q_{j,k} \nonumber\]
puede codificarse en términos de matriz a través de
\[BQ = Q \Lambda \nonumber\]
donde\(\Lambda\) está la matriz\(n-by-n\) diagonal cuyos primeros términos\(n_{1}\) diagonales son\(\lambda_{1}\), cuyos siguientes términos\(n_{2}\) diagonales son\(\lambda_{2}\), y así sucesivamente. Es decir, cada uno\(\lambda_{j}\) se repite según su multiplicidad. Multiplicando cada lado de la Ecuación, desde la derecha, por\(Q^{T}\) llegamos a
\[B = Q \Lambda Q^{T} \nonumber\]
Porque uno puede escribir con la misma facilidad
\[Q^{T} BQ = \Lambda \nonumber\]
uno dice que\(Q\) diagonaliza\(B\).
Devolvamos el nuestro ejemplo
\[B = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}\\ {1}&{1}&{1}\\ {1}&{1}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]
del último capítulo. Recordemos que el espacio propio asociado con\(\lambda_{1} = 0\)
\[e_{1, 1} = \begin{pmatrix} {-1}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]
y
\[e_{1, 2} = \begin{pmatrix} {-1}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} \nonumber\]
para una base. A través de Gram-Schmidt podemos reemplazar esto con
\[q_{1, 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} {-1}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]
\[q_{1, 2} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} {-1}\\ {-1}\\ {2} \end{pmatrix} \nonumber\]
Normalizando el vector asociado con el\(\lambda_{2} = 3\) que llegamos
\[q_{2, 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} {1}\\ {1}\\ {1} \end{pmatrix} \nonumber\]
y por lo tanto
\[Q = \begin{pmatrix} {q_{1}^{1}}&{q_{2}^{1}}&{q_{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} {-\sqrt{3}}&{-1}&{\sqrt{2}}\\ {\sqrt{3}}&{-1}&{\sqrt{2}}\\ {0}&{2}&{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \nonumber\]
y
\[\begin{pmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{3} \end{pmatrix} \nonumber\]