5.11.E: Problemas en Funciones Exponenciales y Trigonométricas
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Verificar fórmula\((2)\).
\(\text { Prove Note } 1, \text { as suggested (using Chapter } 2, §§ 11-12)\).
Demostrar fórmulas\((1)\) de Capítulo\(2, §§11-12\) a partir de nuestras nuevas definiciones.
Completar los detalles faltantes en las pruebas de Teoremas\(2-4\).
Demostrar que
(i)\(\sin 0=\sin (n \pi)=0\);
(ii)\(\cos 0=\cos (2 n \pi)=1\);
(iii)\(\sin \frac{\pi}{2}=1\);
(iv)\(\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\);
(v)\(\cos \left( \pm \frac{\pi}{2}\right)=0\);
(vi)\(|\sin x| \leq 1\) y\(|\cos x| \leq 1\) para\(x \in E^{1}\).
Demostrar que
(i)\(\sin (-x)=-\sin x\) y
(ii)\(\cos (-x)=\cos x\) para\(x \in E^{1}\).
[Pista: Para (i), vamos\(h(x)=\sin x+\sin (-x) .\) Mostrar que\(h^{\prime}=0 ;\) por lo tanto\(h\) es constante, digamos,\(\left.h=q \text { on } E^{1} . \text { Substitute } x=0 \text { to find } q . \text { For (ii), use }(13)-(15) .\right]\)
Demostrar lo siguiente para\(x, y \in E^{1} :\)
(i) de\(\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y ;\) ahí\(\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x\).
ii)\(\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y ;\) por lo tanto\(\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x\).
[Pista para\((\mathrm{i}) :\) Fijar\(x, y\) y dejar\(p=x+y .\) Definir\(h : E^{1} \rightarrow E^{1}\) por
\ [
h (t) =\ sin t\ cos (p-t) +\ cos t\ sin (p-t),\ quad t\ en E^ {1}.
\]
\(\text { Proceed as in Problem } 6 . \text { Then let } t=x .]\)
Con\(\overline{J_{n}}\) como en el texto, mostrar que el seno aumenta en\(\overline{J_{n}}\) si\(n\) es par y disminuye si\(n\) es impar. ¿Qué tal el coseno? Encuentra los puntos finales de\(\overline{J_{n}}\).