8.11.E: Problemas en Derivados de Radón-Nikodym y Descomposición de Lebesgue
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\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
Rellene todos los datos de prueba en Lema 2 y Teorema 1.
Verificar la declaración siguiendo la fórmula (3). Demostrar también lo siguiente:
(i) Si\(P \in \mathcal{M}\) junto con\(-P \in \mathcal{M},\) entonces\(s \perp t\) implica\(t \perp s\);
(ii)\(s \perp t\) iff\(v_{s} \perp t\).
Demostrar Corolario 1.
[Consejos: Aquí\(\mathcal{M}\) hay un\(\sigma\) anillo. Supongamos\(s\) y\(u\) residen en\(P^{\prime}\) y\(P^{\prime \prime},\) respectivamente, y\(v_{t} P^{\prime}=0=v_{t} P^{\prime \prime} .\) Let\(P=P^{\prime} \cup P^{\prime \prime} \in \mathcal{M} .\) Verify that\(v_{t} P=0\) (use Problema 8 en el Capítulo\(7, §11 \text { ). Then show that both } s \text { and } u \text { reside in } P .]\)
Demostrar que si\(s: \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) es una medida firmada en\(S \in \mathcal{M},\) entonces\(s^{+} \perp s^{-}\) y\(s^{-} \perp s^{+}\).
Rellenar todos los datos en el comprobante de Teorema\(2 .\) También acreditar lo siguiente:
(i)\(s^{\prime}\) y\(v_{s^{\prime}}\) son absolutamente\(t\) -continuos.
[Pista: Usar el Teorema 2 en el Capítulo 7, §11.]
ii)\(v_{s}=v_{s^{\prime}}+v_{s^{\prime \prime}}, v_{s^{\prime \prime}} \perp t\).
(iii) Si\(s\) es una medida\((\geq 0),\) así lo son\(s^{\prime}\) y\(s^{\prime \prime}\).
Verificar la Nota 3 para el Teorema 1 y el\(3 .\) Estado Corolario y probar ambas proposiciones generalizadas con precisión.