7.1: Integrales superiores e inferiores
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Dado un intervalo cerrado\([a, b] \subset \mathbb{R}\) con\(a<b,\) llamamos a cualquier subconjunto finito del\([a, b]\) cual incluye ambos\(a\) y\(b\) una partición de\([a, b]\).
Por conveniencia, siempre que consideremos una partición\(P\) de un intervalo\([a, b]\) indexaremos los elementos en orden creciente, comenzando con\(0 .\) Eso es, si\(|P|=n+1\) y\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\},\) luego
\[a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b.\]
Supongamos que\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) es una partición de\([a, b]\) y\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está delimitada. Para\(i=1,2, \ldots, n,\) dejar
\[m_{i}=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}\]
y
\[M_{i}=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.\]
Llamamos
\[L(f, P)=\sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\]
la suma inferior de\(f\) determinado por\(P\) y
\[U(f, P)=\sum_{i=1}^{n} M_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\]
la suma superior de\(f\) determinado por\(P .\)
Si\(P_{1}\) y\(P_{2}\) son ambas particiones de\([a, b]\) y\(P_{1} \subset P_{2},\) entonces llamamos\(P_{2}\) un refinamiento de\(P_{1}\).
Si\(P_{1}\) y\(P_{2}\) son ambas particiones de\([a, b],\) entonces llamamos a la partición\(P=P_{1} \cup P_{2}\) el refinamiento común de\(P_{1}\) y\(P_{2}\).
Supongamos que\(P_{1}=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) es una partición de\([a, b], s \in(a, b)\),\(s \notin P_{1},\) y\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está acotada. Si\(P_{2}=P_{1} \cup\{s\},\) entonces\(L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)\) y\(U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)\).
- Prueba
-
Supongamos\(x_{i-1}<s<x_{i}\) y vamos
\[\begin{aligned} w_{1} &=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq s\right\}, \\ W_{1} &=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq s\right\}, \\ w_{2} &=\inf \left\{f(x): s \leq x \leq x_{i}\right\}, \\ W_{2} &=\sup \left\{f(x): s \leq x \leq x_{i}\right\}, \\ m_{i} &=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}, \end{aligned}\]
y
\[M_{i}=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.\]
Entonces\(w_{1} \geq m_{i}, w_{2} \geq m_{i}, W_{1} \leq M_{i},\) y\(W_{2} \leq M_{i} .\) por lo tanto
\[\begin{aligned} L\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{1}\right) &=w_{1}\left(s-x_{i-1}\right)+w_{2}\left(x_{i}-s\right)-m_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=w_{1}\left(s-x_{i-1}\right)+w_{2}\left(x_{i}-s\right)-m_{i}\left(s-x_{i-1}\right) \\ & \quad-m_{i}\left(x_{i}-s\right) \\ &=\left(w_{1}-m_{i}\right)\left(s-x_{i-1}\right)+\left(w_{2}-m_{i}\right)\left(x_{i}-s\right) \\ & \geq 0 \end{aligned}\]
y
\[\begin{aligned} U\left(f, P_{1}\right)-U\left(f, P_{2}\right)=& M_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)-W_{1}\left(s-x_{i-1}\right)-W_{2}\left(x_{i}-s\right) \\=& M_{i}\left(s-x_{i-1}\right)+M_{i}\left(x_{i}-s\right)-W_{1}\left(s-x_{i-1}\right) \\ &-W_{2}\left(x_{i}-s\right) \\=&\left(M_{i}-W_{1}\right)\left(s-x_{i-1}\right)+\left(M_{i}-W_{2}\right)\left(x_{i}-s\right) \\ \geq & 0. \end{aligned}\]
Así\(L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)\) y\(U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)\). \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos\(P_{1}\) y\(P_{2}\) son particiones de\([a, b],\) con\(P_{2}\) un refinamiento de\(P_{1} .\) Si\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está acotado, entonces\(L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)\) y\(U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)\).
- Prueba
-
La proposición sigue inmediatamente del uso repetido del lema anterior. \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos\(P_{1}\) y\(P_{2}\) son particiones de\([a, b] .\) Si\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está acotada, entonces\(L\left(f, P_{1}\right) \leq U\left(f, P_{2}\right)\).
- Prueba
-
El resultado se desprende inmediatamente de las definiciones si\(P_{1}=P_{2} .\) De lo contrario, dejar\(P\) ser el refinamiento común de\(P_{1}\) y\(P_{2} .\) Entonces
\[L\left(f, P_{1}\right) \leq L(f, P) \leq U(f, P) \leq U\left(f, P_{2}\right).\]
Q.E.D.
Supongamos\(a<b\) y\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está acotado. Llamamos
\[\underline{\int_{a}^{b}} f=\sup \{L(f, P): P \text { is a partition of }[a, b]\}\]
la integral inferior de\(f\) más\([a, b]\) y
\[\overline{\int_{a}^{b}} f=\inf \{U(f, P): P \text { is a partition of }[a, b]\}\]
la integral superior de\(f\) más\([a, b]\).
Tenga en cuenta que tanto la integral inferior como la integral superior son números reales finitos ya que las sumas inferiores están todas delimitadas arriba por cualquier suma superior y las sumas superiores están todas delimitadas por debajo por cualquier suma inferior.
Supongamos\(a<b\) y\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está acotado. Entonces
\[\underline{\int_{a}^{b}} f \leq \overline{\int_{a}^{b}} f.\]
- Prueba
-
Dejar\(P\) ser una partición de\([a, b] .\) Entonces para cualquier partición\(Q\) de\([a, b],\) tenemos\(L(f, Q) \leq U(f, P) .\) Por lo tanto,\(U(f, P)\) es un límite superior para cualquier suma inferior, y así
\[\underline{\int_{a}^{b}} f \leq U(f, P).\]
Pero esto demuestra que la integral inferior es un límite inferior para cualquier suma superior. De ahí
\[\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} f.\]
Q.E.D.