2.1: La Derivada - Preliminares
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En cálculo definimos la derivada como un límite. En análisis complejos haremos lo mismo.
\[f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}.\]
Antes de darle toda nuestra atención al derivado vamos a tener que pasar algún tiempo explorando y entendiendo los límites. Para motivar esto, primero veremos dos ejemplos simples: uno positivo y otro negativo.
Encuentra la derivada de\(f(z) = z^2\).
Solución
Calculamos usando la definición de la derivada como límite.
\[\lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{(z + \Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{z^2 + 2z \Delta z + (\Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} 2z + \Delta z = 2z.\]
Ese fue un ejemplo positivo. Aquí hay uno negativo que demuestra que necesitamos una comprensión cuidadosa de los límites.
Vamos\(f(z) = \overline{z}\). Demostrar que el límite para\(f'(0)\) no converge.
Solución
Intentemos calcular\(f'(0)\) usando un límite:
\[f'(0) = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{f(\Delta z) - f(0)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} = \dfrac{\Delta x - i \Delta y}{\Delta x + i \Delta y}.\]
Aquí usamos\(\Delta z = \Delta x + i \Delta y\).
Ahora,\(\Delta z \to 0\) significa ambos\(\Delta x\) y\(\Delta y\) hay que ir a 0. Hay muchas maneras de hacer esto. Por ejemplo, si dejamos\(\Delta z\) ir a 0 a lo largo del\(x\) eje -entonces,\(\Delta x\) va a 0. En este caso, tendríamos
\[f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1.\]
Por otro lado, si\(\Delta z\) soltamos a 0 a lo largo del\(y\) eje positivo entonces
\[f'(0) = \lim_{\Delta y \to 0} \dfrac{-i \Delta y} {i \Delta y} = -1.\]
¡Los límites no están de acuerdo! El problema es que el límite depende de cómo\(\Delta z\) se aproxime a 0. Si viniéramos de otras direcciones obtendríamos otros valores. No hay nada que hacer, sino estar de acuerdo en que el límite no existe.
Bueno, hay algo que podemos hacer: explorar y entender los límites. Hagámoslo ahora.