10.3: Integrales trigonométricas
- Page ID
- 109939
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
El truco aquí es armar algunas propiedades elementales de\(z = e^{i \theta}\) en el círculo unitario.
- \(e^{-i \theta} = 1/z.\)
- \(\cos (\theta) = \dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} = \dfrac{z + 1/z}{2}.\)
- \(\sin (\theta) = \dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} = \dfrac{z - 1/z}{2i}.\)
Empezamos con un ejemplo. Después de eso vamos a exponer un teorema más general.
Compute
\[\int_{0}^{2\pi} \dfrac{d \theta}{1 + a^2 - 2a \cos (\theta)}.\]
Asumir eso\(|a| \ne 1\).
Solución
Observe que\([0, 2\pi]\) es el intervalo utilizado para parametrizar el círculo unitario como\(z = e^{i \theta}\). Tenemos que hacer dos sustituciones:
\[\begin{array} {rcl} {\cos (\theta)} & = & {\dfrac{z + 1/z}{2}} \\ {dz} & = & {i e^{i \theta} \ d\theta \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ d \theta = \dfrac{dz}{iz}} \end{array}\]
Haciendo estas sustituciones obtenemos
\[\begin{array} {rcl} {I} & = & {\int_{0}^{2\pi} \dfrac{d \theta}{1 + a^2 - 2a \cos (\theta)}} \\ {} & = & {\int_{|z| = 1} \dfrac{1}{1 + a^2 - 2a (z + 1/z)/2} \cdot \dfrac{dz}{iz}} \\ {} & = & {\int_{|z| = 1} \dfrac{1}{i((1 + a^2) z - a(z^2 +1))} \ dz.} \end{array}\]
Entonces, vamos
\[f(z) = \dfrac{1}{i((1 + a^2) z - a(z^2 + 1))}.\]
El teorema del residuo implica
\[I = 2\pi i \sum \text{ residues of } f \text{ inside the unit circle.}\]
Podemos factorizar el denominador:
\[f(z) = \dfrac{-1}{ia (z - a) (z - 1/a)}.\]
Los polos están en\(a\),\(1/a\). Uno está dentro del círculo unitario y otro está afuera.
Si\(|a| > 1\) entonces\(1/a\) está dentro del círculo de la unidad y\(\text{Res} (f, 1/a) = \dfrac{1}{i(a^2 - 1)}\)
Si\(|a| < 1\) entonces\(a\) está dentro del círculo de la unidad y\(\text{Res} (f, a) = \dfrac{1}{i(1 - a^2)}\)
Tenemos
\[I = \begin{cases} \dfrac{2 \pi}{a^2 - 1} & \text{if } |a| > 1 \\ \dfrac{2 \pi}{1 - a^2} & \text{if } |a| < 1 \end{cases}\]
El ejemplo ilustra una técnica general que exponemos ahora.
Supongamos que\(R(x, y)\) es una función racional sin polos en el círculo
\[x^2 + y^2 = 1\]
luego para
\[f(z) = \dfrac{1}{iz} R (\dfrac{z + 1/z}{2}, \dfrac{z - 1/z}{2i})\]
tenemos
\[\int_{0}^{2\pi} R(\cos (\theta), \sin (\theta)) \ d \theta = 2 \pi i \sum \text{ residues of } f \text{ inside } |z| = 1.\]
- Prueba
-
Hacemos las mismas sustituciones que en el Ejemplo 10.4.1. Entonces,
\[\int_{0}^{2\pi} R(\cos (\theta), \sin (\theta)) \ d \theta = \int_{|z| = 1} R (\dfrac{z + 1/z}{2}, \dfrac{z - 1/z}{2i}) \dfrac{dz}{iz}\]
La suposición sobre los polos significa que no\(f\) tiene polos en el contorno\(|z| = 1\). El teorema del residuo implica ahora el teorema.