10.3: Juicios de Bernoulli
- Page ID
- 118475
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
Supongamos que tenemos una jarra con 7 canicas, cuatro de las cuales son rojas y tres son azules. Una canica se dibuja al azar y registramos si es roja o azul. La probabilidad\(p\) de obtener una canica roja es 4/7; y la probabilidad de obtener un azul es\(1−p=3/7\).
Ahora supongamos que el mármol se vuelve a poner en el frasco, los mármoles en el frasco se revuelven, y se repite el experimento. Entonces la probabilidad de obtener una canica roja en el segundo ensayo es de nuevo 4/7, y este patrón se mantiene independientemente del número de veces que se repita el experimento.
Es costumbre llamar a esta situación una serie de juicios de Bernoulli. De manera más formal, tenemos un experimento con sólo dos resultados: el éxito y el fracaso. La probabilidad de éxito es\(p\) y la probabilidad de fracaso es\(1−p\). Lo más importante es que cuando se repite el experimento, entonces la probabilidad de éxito en cualquier prueba individual es exactamente\(p\).
Arreglamos un entero positivo\(n\) y consideramos el caso de que el experimento se repita\(n\) veces. Los resultados son entonces las cadenas binarias de longitud del alfabeto\(n\) de dos letras\(\{S,F\}\), para el éxito y el fracaso, respectivamente. Si\(x\) es una cadena con\(i\) éxitos y\(n−i\) fracasos, entonces\(P(x)=\binom{n}{i}p^i(1−p)^{n−i}\). Por supuesto, en las aplicaciones, el éxito y el fracaso pueden ser reemplazados por: cabeza/cola, arriba/abajo, bueno/malo, adelante/atrás, rojo/azul, etc.
Cuando se enrolla un dado, digamos que tenemos un éxito si el resultado es un dos o un cinco. Entonces la probabilidad\(p\) de éxito es 2/6=1/3 y la probabilidad de fracaso es 2/3. Si el dado se enrolla diez veces seguidas, entonces la probabilidad de que obtengamos exactamente cuatro éxitos es\(C(10,4)(1/3)^4(2/3)^6\).
Una moneda justa se arroja 100 veces y se registra el resultado (cabezas o colas). Entonces la probabilidad de conseguir cabezas 40 veces y colas las otras 60 veces es
\[\dbinom{100}{40}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{40}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{60} = \dfrac{\binom{100}{40}}{2^{100}}. \nonumber\]
Bob dice que si una moneda justa es arrojada 100 veces, es bastante probable que obtengas exactamente 50 cabezas y 50 colas. Dave no está tan seguro de que esto sea correcto. Carlos dispara su computadora y en pocos segundos, informa que la probabilidad de obtener exactamente 50 cabezas cuando una moneda justa es arrojada 100 veces es
\(\dfrac{12611418068195524166851562157}{158456325028528675187087900672}\)
que es .079589, a seis decimales. En otras palabras, no es muy probable en absoluto. Xing está haciendo un cálculo modestamente más complicado, e informa que tienes un 99% de posibilidades de que el número de cabezas sea de al menos 20 y como máximo 80. Carlos agrega que cuando\(n\) es muy grande, entonces es cada vez más seguro que el número de cabezas en\(n\) tiradas estará cerca de\(n/2\). Dave pregunta a qué te refieres con cerrar, y ¿qué quieres decir con muy grande?