2.5: Ejercicios
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Consideremos nuevamente las dos colecciones de declaraciones condicionales relacionadas en el Ejemplo 2.3.1.
- Para cada una de estas colecciones, determinar cuáles dos de las cuatro afirmaciones relacionadas son verdaderas y cuáles dos son falsas. Para las dos declaraciones falsas de cada colección, demuéstrala proporcionando ejemplos donde las declaraciones sean falsas.
- Dé un ejemplo de una declaración condicional que involucra objetos matemáticos para los cuales los cuatro condicionales, contrapositivos, conversos e inversos son todos verdaderos.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Supongamos que\(U\) es una tautología y\(E\) es una contradicción.
- \(P \land U \Leftrightarrow P\)Demuéstralo por cada declaración\(P\text{.}\)
- \(P \lor E \Leftrightarrow P\)Demuéstralo por cada declaración\(P\text{.}\)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Considerar la equivalencia de declaraciones\(p \rightarrow (q_1 \lor q_2) \Leftrightarrow (p \land \neg q_1) \rightarrow q_2\text{.}\)
- Utilice una tabla de verdad para verificar la equivalencia.
- Usar cálculo proposicional para demostrar la equivalencia.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Utilizar tablas de verdad para establecer las equivalencias de doble negación, idempotencia, conmutatividad, asociatividad, distributividad y Ley de DeMorgan presentadas en la Proposición 2.2.1.
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Este ejercicio le pide demostrar que el conectivo básico “si y solo si” se puede construir a partir de los conectivos básicos “no”, “y”, y “o”.
- Utilice una tabla de verdad para probar la Regla 10.b de la Proposición 2.2.1.
- A partir de la Regla 10.b de la Proposición 2.2.1, utilizar el cálculo proposicional para probar la equivalencia
\ begin {ecuación*} p\ izquierdaTrightarrow q\ Leftrightarrow (\ neg p\ lor q)\ tierra (p\ lor\ neg q)\ text {.} \ end {ecuación*}
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Utilice el Ejercicio 5 para demostrar que exclusivo o
\ comenzar {ecuación*} (p\ lor q)\ tierra\ neg (p\ tierra q)\ fin {ecuación*}
es equivalente a
\ comenzar {ecuación*} p\ izquierdafila\ neg q\ texto {.} \ end {ecuación*}
- Ver
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Estado 2 de la observación 1.1.1 para la diferencia entre inclusivo o y exclusivo o.