5.2: Argumentos estándar
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
5.2.1: Modus Ponens
argumento estándar con forma
\ (\ comenzar {alineado}
&p\ fila derecha q\\
&q\ fila derecha r\\
&\ hline p\ fila derecha r
\ final {alineado}\)
| \(p \rightarrow q\) |
| \(p\) |
| \(q\) |
Verificar la validez del argumento estándar modus ponens.
Solución
Verificar la validez asegurando que cada fila en la tabla de verdad con premisas todas verdaderas también tenga la conclusión verdadera.
|
(pr) |
c) |
(pr) |
|
|
\(p\) |
\(q\) |
\(p \rightarrow q\) |
|
|
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(\checkmark\)argumento es válido |
|
\(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
|
|
\(F\) |
\(T\) |
\(\ast\) |
|
|
\(F\) |
\(F\) |
\(\ast\) |
El argumento en el Ejemplo 5.1.2 tiene forma de modus ponens. Por lo que es válido, aunque la primera premisa y la conclusión no sean realmente ciertas.
5.2.2 Modus tollens
argumento estándar con forma
\(\begin{aligned} &p \rightarrow q \\ &\neg q \\ & \hline \neg p \end{aligned}\)
Verificar la validez del argumento estándar modus tollens.
Solución
Verificar la validez asegurando que cada fila en la tabla de verdad con premisas todas verdaderas también tenga la conclusión verdadera.
|
(pr) |
(pr) |
c) |
|||
|
\(p\) |
\(q\) |
\(p \rightarrow q\) |
\(\neg q\) |
\(\neg p\) |
|
|
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(\ast\) |
|
|
\(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(\ast\) |
\(\ast\) |
|
|
\(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(\ast\) |
|
|
\(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(\checkmark\)argumento es válido |
El argumento en el Ejemplo 5.1.1 tiene la forma modus tollens.
5.2.3 Ley del silogismo
argumento estándar con forma
\(\begin{aligned} &p \rightarrow q\\ &q \rightarrow r \\ &\hline p \rightarrow r \end{aligned}\)
Ya verificamos que la Ley del Silogismo es válida en el Ejemplo Trabajado 5.1.4.
La Ley del Silogismo puede extenderse a cadenas de condicionales de longitud arbitraria (finita).
argumento estándar con forma
\(\begin{aligned} &p_1 \rightarrow p_2\\ &p_2 \rightarrow p_3 \\&\vdots \phantom{\rightarrow p_n} \\ &p_{n-1} \rightarrow p_n \\ & \hline p_1 \rightarrow p_n \end{aligned}\)
Verificaremos que la Ley extendida del silogismo es un argumento válido utilizando la inducción matemática en la Sección 7.2.
\(\begin{aligned} &\text{If I don't study hard this term, I won't master the course material.} \\ &\text{If I don't master the course material, I will fail the course.} \\ &\text{If I fail the course, I will have to take it again next year.} \\ &\text{If I take it again next year, I will have to study harder.} \\ &\hline \text{Therefore, if I don't study hard this term, I will have to study harder next year.} \end{aligned}\)