6.2: Declaraciones matemáticas comunes
- Page ID
- 118219
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
En matemáticas, muchas veces queremos probar que alguna afirmación implica\(P\) lógicamente alguna otra afirmación\(Q\text{;}\) es decir, queremos probarlo\(P \Rightarrow Q\) o\((\forall x)(P(x) \Rightarrow Q(x))\text{.}\) Nótese que la forma universal cubre la declaración común “todos\(A\) son\(B\)”, ya que esta puede ser refraseada “para todo\(x\text{,}\) si\(x\) es\(A\) entonces\(x\) es\(B\)”.
A continuación se presentan algunos métodos comunes para probar\(P \Rightarrow Q\text{.}\) En el caso universal\((\forall x)(P(x) \Rightarrow Q(x))\text{,}\) el dominio de\(x\) puede ser infinito, por lo que no podemos probar\(P(x) \Rightarrow Q(x)\) para cada uno específico\(x\text{,}\) uno por uno. En cambio, tratamos\(x\) como un objeto fijo pero arbitrario en el dominio, e intentamos construir un argumento\(P(x) \Rightarrow Q(x)\) que demuestre que no depende de conocer el objeto específico\(x\text{.}\) Así que todos los métodos a continuación también se pueden utilizar en el caso universal.
Ya que un condicional\(P \rightarrow Q\) es verdadero automáticamente cuando\(P\) es falso, será una tautología siempre y cuando no podamos tener el caso de\(P\) verdadero y\(Q\) falso al mismo tiempo. (Ver Figura 1.3.1.) Por lo tanto, nosotros (casi siempre) comenzamos una prueba asumiendo que eso\(P\) es cierto, y procedemos a demostrar que entonces también\(Q\) debe ser cierto, con base en esa suposición.