6.9: Prueba por contradicción
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- Prueba
-
Primero,\(s\rightarrow t\) es falso precisamente cuando\(s\) es verdadero y\(t\) es falso. Por otro lado,\((s \land \neg t) \rightarrow e\) es falso precisamente cuando\(s \land \neg t\) es verdadero, y\(s \land \neg t\) es cierto precisamente cuando ambos\(s, \neg t\) son verdaderos, es decir, cuando\(s\) es verdadero y\(t\) es falso.
- Para probar\(P \Rightarrow Q\text{,}\) idear una declaración falsa\(E\) tal que\((P \land \neg Q) \Rightarrow E\text{.}\)
- Para probar\((\forall x)(P(x) \Rightarrow Q(x))\text{,}\) idear un predicado\(E(x)\) tal que\((\forall x)(\neg E(x))\) sea verdadero (es decir,\(E(x)\) es falso para todos\(x\) en el dominio), pero\((\forall x)\bigl[(P(x) \land \neg Q(x)) \Rightarrow E(x)\bigr]\text{.}\)
Por lo general\(E\) se toma como alguna variación de\(C \land \neg C\text{,}\) para alguna afirmación\(C\text{.}\) (Véase la Ley de Contradicción, registrada como Tautología Básica 4 en el Ejemplo 1.4.1.)
Demostrar que\(\sqrt{2}\) es irracional.
Solución
Queremos probar el condicional cuantificado con dominio los números reales: para todos\(x\text{,}\) si\(x^2 = 2\) y\(x \gt 0\) entonces no\(x\) es racional.
Supongamos que\(x\) es un número real tal que\(x^2 = 2\) y\(x \gt 0\text{.}\) Por contradicción, asumamos también que\(x\) es racional. Queremos que esta suposición extra lleve a una declaración falsa. Ahora bien, las medias\(x\) racionales\(x = a/b\) para algunos enteros\(a,b\text{.}\) Podemos suponer que ambas\(a,b\) son positivas, ya que también\(x \gt 0\text{.}\) podemos suponer que no\(a,b\) tienen factores comunes (es decir, la fracción\(a/b\) está en términos más bajos). Entonces,
\ begin {alinear*} x^2 = 2 &\;\ Rightarrow\; a^2 = 2 b^2,\\ &\;\ Rightarrow\; a^2\ text {par},\\ &\;\ Rightarrow\; a\ text {par},\\ &\;\ Rightarrow\; a = 2m,\ text {algunos} m,\\ &\;\ Rightarrow\; 2 b^2 = a^2 = 4m^2,\\ &\;\ Rightarrow\; b^2 = 2m^2,\\ &\;\ Rightarrow\; b ^2\ texto {par},\\ &\;\ Rightarrow\; b\ text {par}. \ end {alinear*}
Pero si ambos\(a,b\) son parejos, entonces\(a\) y ambos\(b\) son divisibles por\(2\text{.}\) Hemos llegado a nuestra contradicción: no\(a,b\) tenemos un factor común pero\(a,b\) tenemos un factor común de Es\(2\text{.}\) decir, hemos demostrado lo siguiente.
Para todos\(x\text{,}\) si\(( (x^2 = 2 \text{ and } x \gt 0) \text{ and } x \text{ not irrational}) \) entonces (existen enteros positivos\(a,b\) tales que\(x = a/b\) y no\(a,b\) tienen divisor común y\(a,b\) tienen un divisor común).