18.2: Conceptos básicos y ejemplos
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
¿Qué propiedades debe tener una relación sobre un conjunto para ser útil como noción de “equivalencia”?
- Cada objeto en el conjunto debe ser equivalente a sí mismo. Entonces la relación debe ser reflexiva.
- La equivalencia debe ser bidireccional. Es decir, un par de objetos equivalentes deberían ser equivalentes entre sí. Entonces la relación debe ser simétrica.
- Deberíamos ser capaces de inferir equivalencia a partir de cadenas de equivalencia. Por lo que la relación debe ser transitiva.
Definición: Relación de equivalencia
una relación sobre un conjunto reflexiva, simétrica y transitiva
Definición:\(\mathord{\equiv}\)
símbolo para una relación de equivalencia abstracta (en lugar de la letra\(R\) que hemos estado usando para las relaciones abstractas hasta ahora)
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
\(\mathscr{L}\)Sea el conjunto de todas las declaraciones lógicas posibles construidas a partir de las variables de declaración\(p_1, p_2, p_3, \ldots\text{.}\) Mostrar que la equivalencia lógica de las declaraciones es una relación de equivalencia en\(\mathscr{L}\text{.}\)
Solución
Reflexiva. Tenemos\(A \Leftrightarrow A\) para cada afirmación\(A\text{,}\) ya que\(A\) tiene la misma tabla de verdad que ella misma.
Simétrico. Si\(A \Leftrightarrow B\text{,}\) entonces\(A,B\) tienen la misma tabla de verdad, entonces\(B \Leftrightarrow A\text{.}\)
Transitivo. Si\(A \Leftrightarrow B\) y\(B \Leftrightarrow C\text{,}\) entonces\(A\) tiene la misma tabla de verdad\(B\text{,}\) que tiene la misma tabla de verdad que So\(A\) tiene la misma tabla de verdad\(C\text{.}\) que\(C\text{,}\) i.e.\(A \Leftrightarrow C\text{.}\)
Definición: Equivalencia Modulo\(n\)
una equivalencia de enteros, donde dos enteros son equivalentes si tienen el mismo resto cuando se dividen por\(n\)
Definición:\(m_1 \equiv_n m_2\)
los enteros\(m_1,m_2\) son módulo equivalente\(n\)
Verificar que el módulo de equivalencia\(n\) es una relación de equivalencia.