19.1: Motivación
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\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
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\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
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\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
En muchos de los conjuntos que encontramos, existe alguna noción de que los elementos son “menores o iguales a” otros elementos del conjunto.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Comparing numbers.
En\(\mathbb{N}\text{,}\)\(\mathbb{Z}\text{,}\)\(\mathbb{Q}\text{,}\) o\(\mathbb{R}\text{,}\) usamos lo habitual\(\mathord{\le}\) para describir cuando un número es (literalmente) menor o igual a otro.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Subset relationship as a measure of relative size.
Si\(A,B\) son subconjuntos de un conjunto universal\(U\) tal que\(A\) es un subconjunto de\(B\text{,}\) podríamos pensar que son “menores o iguales a”\(B\text{.}\) La relación\(\mathord{\subseteq}\) sobre\(\mathscr{P}(U)\) actúa de manera muy similar a cómo\(\mathord{\le}\) actúa sobre un conjunto de números.\(A\)
Advertencia
La idea de\(A \subseteq B\) expresar una relación similar a “menor o igual a” entre\(A\) y\(B\) es muy diferente de las ideas basadas en la cardinalidad de menor/mayor para conjuntos. Ver también Ejemplo 19.2.4.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Subgraph relationship as a measure of relative size.
Similar a Ejemplo\(\PageIndex{1}\), si\(H\) y\(H'\) son subgrafos de una gráfica\(G\) tal que\(H'\) es una subgrafía de\(H\text{,}\) podríamos pensar que son “menores que o iguales a” Es\(H\text{.}\) decir, si escribimos\(S(G)\) para significar el conjunto de todos los subgráficos de\(G\text{,}\) entonces\(H'\) podemos usar la relación del subgrafo\(\mathord{\preceq}\) para describir cuando un subgrafo de\(G\) es “menor o igual a” otro.